Razões e proporções

Comparar quantidades por divisão

Explicação conceitual

Uma razão compara duas quantidades por uma divisão. A ordem importa: a razão de $a$ para $b$ é $a/b$ , com $b\neq0$ . Identifique o que cada quantidade representa e quais unidades estão sendo usadas.

Exemplo resolvido: alunos de uma turma.

Uma turma tem 12 meninas e 8 meninos. A razão entre meninas e meninos é:

\frac{12}{8}=\boxed{\frac32}.

São 3 meninas para cada 2 meninos. A razão entre meninas e o total da turma é outra: $12/(12+8)=12/20=3/5$ .

Atividade 1

Uma caixa contém 15 bolas azuis e 10 vermelhas.

a) Determine a razão entre bolas azuis e vermelhas.

b) Determine a razão entre bolas vermelhas e o total de bolas.

Ver resolução

a) $15/10=\boxed{3/2}$ : três azuis para cada duas vermelhas.

b) Há $15+10=25$ bolas. A razão pedida é $10/25=\boxed{2/5}$ .

Proporções e grandezas diretamente proporcionais

Uma proporção é uma igualdade entre razões. Grandezas diretamente proporcionais mantêm uma razão constante: dobrar uma delas dobra a outra.

Fórmula

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc,\qquad b\neq0,\ d\neq0.

O produto cruzado vem de multiplicar os dois membros por $bd$ . Em uma relação diretamente proporcional, podemos escrever $y=kx$ , com $k$ constante.

Exemplo resolvido: preço por quantidade.

Três cadernos iguais custam R$ 24,00. Mantido o preço unitário, quanto custam cinco cadernos? Um caderno custa $24/3=8$ reais. Portanto:

5\cdot8=\boxed{40\text{ reais}}.

Também podemos usar $24/3=x/5$ , obtendo $3x=120$ e $x=40$ .

Atividade 2

a) Resolva $x/6=10/15$ .

b) Uma receita para 4 pessoas usa 300 g de arroz. Mantidas as porções, quantos gramas são necessários para 10 pessoas?

Ver resolução

a) $15x=60\Rightarrow\boxed{x=4}$ . Conferindo: $4/6=10/15=2/3$ .

b) Cada pessoa recebe $300/4=75$ g. Para 10 pessoas: $75\cdot10=\boxed{750\text{ g}}$ .

Grandezas inversamente proporcionais

Leitura intuitiva

Em uma relação inversamente proporcional entre grandezas positivas, dobrar uma delas reduz a outra à metade. O produto permanece constante. É o caso da velocidade e do tempo para percorrer a mesma distância a velocidade constante.

Fórmula

x_1y_1=x_2y_2.

Para distância fixa $d$ , velocidade $v$ e tempo $t$ , vale $vt=d$ .

Exemplo resolvido: duração de uma viagem.

Um percurso é feito a 60 km/h em 3 horas. Quanto tempo levaria a 90 km/h, sem paradas? A distância é $60\cdot3=180$ km:

90t=180\Rightarrow\boxed{t=2\text{ horas}}.

A velocidade aumentou e o tempo diminuiu, mantendo a distância.

Atividade 3

Quatro máquinas iguais concluem um serviço em 6 horas. Em quanto tempo oito máquinas iguais concluiriam o mesmo serviço? Considere o mesmo ritmo por máquina e ausência de interferência entre elas.

Ver resolução

O serviço corresponde a $4\cdot6=24$ horas de trabalho de uma máquina. Com oito máquinas:

8t=24\Rightarrow\boxed{t=3\text{ horas}}.

Dobrar a quantidade de máquinas reduz o tempo à metade nas condições do enunciado.

Porcentagem e escala

Fórmula

p\%=\frac{p}{100},\qquad\text{parte}=\frac{p}{100}\cdot\text{total}.

Na escala $1:n$ , uma unidade no desenho corresponde a $n$ unidades reais. Compare as medidas na mesma unidade.

Exemplo resolvido: desconto.

Uma mochila custa R$ 150,00 e recebe desconto de 20%. O desconto é $0{,}20\cdot150=30$ reais. O preço final é $150-30=\boxed{120\text{ reais}}$ .

Exemplo resolvido: distância em um mapa.

Na escala $1:50000$ , uma distância de 3 cm representa $3\cdot50000=150000$ cm. Dividindo por 100, obtemos 1500 m; dividindo por 1000, chegamos a 1,5 km.

Cuidado comum

Nem toda relação é proporcional. Uma compra com taxa fixa pode não dobrar de preço quando a quantidade dobra. Em porcentagens, identifique qual valor representa 100%. Em escalas, converta as unidades antes de comparar.

Atividade 4

a) Um produto custa R$ 80,00 e recebe desconto de 15%. Qual é o preço final?

b) Na escala $1:200000$ , dois pontos estão separados por 4 cm. Qual é a distância real em quilômetros?

Ver resolução

a) O desconto é $0{,}15\cdot80=12$ reais. O preço final é $80-12=\boxed{68\text{ reais}}$ .

b) A distância é $4\cdot200000=800000$ cm. Como 100000 cm correspondem a 1 km, a resposta é $\boxed{8\text{ km}}$ .

Roteiro para resolver uma questão

Identifique as grandezas e use unidades compatíveis.
Verifique se a relação é direta, inversa ou não proporcional.
Monte a razão, a proporção ou o produto constante.
Calcule e confira se a resposta aumenta ou diminui como esperado.

Comparar quantidades por divisão

Atividade 1

Proporções e grandezas diretamente proporcionais

Atividade 2

Grandezas inversamente proporcionais

Atividade 3

Porcentagem e escala

Atividade 4

Roteiro para resolver uma questão

Questões relacionadas

Sons ambientes