Potenciação e função exponencial

Potenciação é uma forma curta de escrever uma multiplicação em que o mesmo fator aparece várias vezes. A ideia principal não é decorar símbolos, mas perceber quando uma situação cresce ou diminui por multiplicações repetidas.

Quando escrevemos $2^5$, estamos dizendo que o número $2$ será multiplicado por ele mesmo cinco vezes:

Na potência $a^n$, o número $a$ é a base e o número $n$ é o expoente. A base indica o fator que se repete. O expoente indica quantas vezes esse fator aparece.

Para $n$ natural:

Um erro comum é pensar que potência é apenas uma multiplicação entre a base e o expoente. Não é. Por exemplo:

Na verdade:

Potenciação simples

Exemplo resolvido: uma pessoa envia uma mensagem para 2 amigos. Cada amigo envia a mensagem para mais 2 pessoas, sem repetir destinatários. Quantas pessoas recebem a mensagem na quinta rodada?

Na primeira rodada, 2 pessoas recebem a mensagem. Na segunda rodada, cada uma dessas 2 pessoas envia para 2 novas pessoas:

Na terceira rodada:

Seguindo o mesmo padrão, na quinta rodada temos:

Portanto:

O ponto importante é este: cada rodada não soma 2 pessoas. Cada rodada multiplica por 2 a quantidade da rodada anterior.

Atividade 1

Em uma campanha de arrecadação, uma pessoa chama 3 colegas. Na rodada seguinte, cada um desses colegas chama mais 3 pessoas, sem repetir participantes.

a) Quantas pessoas são chamadas na primeira rodada?

b) Quantas pessoas são chamadas na segunda rodada?

c) Quantas pessoas são chamadas na quarta rodada?

Um vídeo é enviado inicialmente para 10 pessoas. Cada pessoa envia o vídeo para mais 10 pessoas na rodada seguinte.

d) Quantas pessoas recebem o vídeo na terceira rodada?

e) Escreva esse resultado usando potência.

Calcule $2^6$, $3^4$, $10^5$ e $5^3$.

Expoente zero, negativo e fracionário

Explicação conceitual

Para qualquer $a\neq0$, vale:

Essa regra aparece naturalmente quando dividimos potências iguais:

e, pela regra dos expoentes:

Logo:

Expoente negativo indica inverso. Para $a\neq0$:

Exemplos:

O expoente negativo não deixa o resultado obrigatoriamente negativo. Ele manda inverter a potência.

Expoente fracionário se conecta com raiz. Para $a>0$:

De modo geral:

Exemplos:

Exemplo resolvido: um aplicativo comprime uma imagem pela metade a cada etapa. A imagem original tem 8000 kB. Qual fração do tamanho original resta depois de 3 etapas?

A cada etapa, o tamanho é multiplicado por:

Depois de 3 etapas, esse fator aparece 3 vezes:

Portanto, resta:

Se quisermos o tamanho em kB:

Logo, a imagem fica com 1000 kB.

Atividade 2

Um arquivo de 6400 kB é comprimido pela metade a cada etapa.

a) Que fração do tamanho original resta depois de 4 etapas?

b) Qual será o tamanho do arquivo depois dessas 4 etapas?

Uma caixa cúbica tem volume de $125\text{ cm}^3$. A medida da aresta é o número cujo cubo vale 125.

c) Escreva a medida da aresta usando expoente fracionário.

d) Calcule essa medida.

Calcule $5^0$, $2^{-4}$, $100^{1/2}$, $64^{1/3}$ e $27^{2/3}$.

Propriedades de potenciação

Explicação conceitual

As propriedades de potência servem para reescrever expressões sem precisar desenvolver toda a multiplicação. O ponto mais importante é observar a operação entre as potências. Produto, quociente e potência de potência têm regras diferentes.

Quando as bases são iguais e as potências estão sendo multiplicadas, somamos os expoentes:

Quando as bases são iguais e as potências estão sendo divididas, subtraímos os expoentes:

Quando uma potência está elevada a outro expoente, multiplicamos os expoentes:

Quando um produto está elevado a um expoente, o expoente atinge cada fator:

Quando um quociente está elevado a um expoente, o expoente atinge numerador e denominador:

Exemplo resolvido: um servidor recebeu $2^6$ arquivos pela manhã e, à tarde, recebeu mais $2^4$ vezes essa mesma quantidade. Escreva a quantidade recebida à tarde como uma potência de base 2.

A quantidade da manhã foi:

À tarde, o servidor recebeu $2^4$ vezes essa quantidade:

Como as bases são iguais e as potências estão multiplicando, somamos os expoentes:

Portanto:

Atividade 3

Um site recebeu $3^5$ acessos em uma hora. Na hora seguinte, recebeu $3^2$ vezes essa quantidade.

a) Escreva a quantidade de acessos da segunda hora como potência de base 3.

b) Qual propriedade foi usada?

Uma memória foi dividida igualmente entre $2^3$ máquinas. O total de unidades de memória era $2^{11}$.

c) Escreva a quantidade recebida por cada máquina como potência de base 2.

d) Calcule o valor numérico.

Simplifique $2^3\cdot2^5$, $\dfrac{3^8}{3^2}$, $(5^2)^4$, $10^4\cdot10^{-1}$ e $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$.

Erros comuns com potências

Atividade 4

Corrija os erros.

a) $2^3+2^4=2^7$

b) $(3+4)^2=3^2+4^2$

c) $-3^2=9$

d) $5^2\cdot5^3=25^5$

Equações exponenciais simples

Explicação conceitual

Uma equação exponencial é uma equação em que a incógnita aparece no expoente. Nesta aula, o método principal será transformar os dois lados em potências de mesma base.

Se $a>0$, $a\neq1$ e:

então:

Exemplo resolvido: resolva $2^x=32$.

Escrevemos $32$ como potência de base 2:

Então:

Como as bases são iguais:

Exemplo resolvido: resolva $4^x=128$.

O lado esquerdo tem base 4, mas $4$ pode ser escrito como potência de 2:

Então:

Agora escrevemos $128$ como potência de 2:

A equação fica:

Comparando os expoentes:

Logo:

Exemplo resolvido: resolva $\left(\frac{1}{3}\right)^x=27$.

Escrevemos $\frac13$ como potência de 3:

Logo:

Também escrevemos $27$ como potência de 3:

A equação fica:

Comparando os expoentes:

Portanto:

Atividade 5

Uma população de bactérias começa com 50 bactérias e dobra a cada hora. Depois de quantas horas haverá 3200 bactérias?

Uma sequência de mensagens começa com 3 pessoas na primeira rodada e triplica a cada rodada seguinte. Em qual rodada haverá 243 pessoas recebendo a mensagem?

Um desconto progressivo faz o preço cair pela metade a cada etapa. Depois de quantas etapas o preço será $\frac18$ do valor inicial?

$2^x=64$, $3^x=81$, $4^x=32$, $5^{x-1}=125$ e $\left(\dfrac12\right)^x=8$.

Da potência à função exponencial

Explicação conceitual

Até aqui, usamos potências para calcular valores e resolver equações. Agora a potência passa a representar uma função. Isso acontece quando a variável aparece no expoente.

A forma básica da função exponencial é:

com:

A condição $a>0$ evita problemas com expoentes fracionários no conjunto dos reais. A condição $a\neq1$ evita a função constante $1^x=1$, que não representa crescimento nem decrescimento exponencial.

Em problemas contextualizados, a função aparece muito na forma:

Aqui, $Q_0$ é a quantidade inicial, $b$ é o fator multiplicativo por período, $t$ é o número de períodos e $Q(t)$ é a quantidade depois de $t$ períodos.

Crescimento exponencial

Explicação conceitual

Quando a base é maior que 1, a função exponencial é crescente. Isso significa que, conforme o expoente aumenta, o valor da potência aumenta.

Exemplo:

O gráfico passa por $(0,1)$, porque $2^0=1$, e fica sempre acima do eixo $x$, pois $2^x$ é sempre positivo.

Exemplo resolvido: uma população de bactérias começa com 100 indivíduos e dobra a cada 20 minutos. Quantas bactérias haverá depois de 1 hora?

A quantidade inicial é:

A população dobra a cada período, então o fator é:

Cada período dura 20 minutos. Em 1 hora, temos 60 minutos. Logo:

O modelo é:

Substituindo $t=3$:

Portanto:

Atividade 6

Uma população começa com 500 indivíduos e dobra a cada mês.

a) Escreva a função que dá a população depois de $t$ meses.

b) Calcule a população depois de 4 meses.

c) Depois de quantos meses a população chegará a 8000 indivíduos?

Uma página começa com 200 seguidores e triplica a cada semana.

d) Escreva a função que dá o número de seguidores depois de $t$ semanas.

e) Calcule a quantidade depois de 3 semanas.

Decrescimento exponencial

Explicação conceitual

Quando a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente. Isso acontece porque multiplicar repetidamente por um número menor que 1 reduz a quantidade.

Exemplo:

O gráfico também passa por $(0,1)$, porque $\left(\frac12\right)^0=1$, mas agora os valores diminuem quando $x$ aumenta.

Exemplo resolvido: uma pessoa toma café com 80 mg de cafeína. A quantidade de cafeína no corpo cai pela metade a cada 5 horas. Quanto resta depois de 15 horas?

A quantidade inicial é:

Cair pela metade significa multiplicar por:

Depois de 15 horas, passaram:

períodos.

O modelo é:

Substituindo $t=3$:

Portanto:

Atividade 7

Uma substância começa com 120 g e sua quantidade cai pela metade a cada hora.

a) Escreva a função que representa a quantidade restante depois de $t$ horas.

b) Calcule quanto resta depois de 3 horas.

c) Depois de quantas horas restarão 15 g?

Um medicamento começa com 200 mg no organismo e cai pela metade a cada 6 horas.

d) Escreva a função para a quantidade restante depois de $t$ períodos de 6 horas.

e) Calcule quanto resta depois de 18 horas.

Crescimento percentual e decrescimento percentual

Explicação conceitual

Em muitos problemas, o fator exponencial aparece disfarçado em uma porcentagem.

Se uma quantidade cresce 20%, ela passa a valer 100% mais 20%:

Então o fator é $1{,}2$.

Se uma quantidade diminui 15%, ela passa a valer 100% menos 15%:

Então o fator é $0{,}85$.

Exemplo resolvido: uma aplicação de R$ 300,00 cresce 20% ao mês. Quanto haverá após 2 meses?

A quantidade inicial é:

Crescer 20% significa multiplicar por:

O modelo é:

Depois de 2 meses:

Como $1{,}2^2=1{,}44$:

Portanto:

Exemplo resolvido: um produto custa R$ 1000,00 e perde 10% do valor por ano. Qual será o valor depois de 2 anos?

Perder 10% significa manter 90% do valor a cada ano:

O modelo é:

Depois de 2 anos:

Portanto:

Atividade 8

Um valor de R$ 500,00 cresce 10% ao mês.

a) Qual é o fator multiplicativo mensal?

b) Quanto vale depois de 2 meses?

Um produto de R$ 2000,00 desvaloriza 20% ao ano.

c) Qual é o fator multiplicativo anual?

d) Quanto vale depois de 2 anos?

Uma população de 1000 indivíduos cresce 30% por ano.

e) Escreva o modelo após $t$ anos.

f) Calcule a população depois de 2 anos.

Diferença de temperatura

Explicação conceitual

Algumas situações não modelam diretamente a quantidade observada, mas a diferença entre duas quantidades. Um exemplo clássico é o resfriamento simplificado de uma bebida.

Se o café está a $90^\circ\text{C}$ e o ambiente está a $30^\circ\text{C}$, a diferença inicial é:

Se essa diferença cai pela metade a cada 3 minutos, modelamos a diferença, e não a temperatura direta.

Exemplo resolvido: a diferença entre a temperatura do café e a temperatura ambiente cai pela metade a cada 3 minutos. O café está a $90^\circ\text{C}$, e o ambiente está a $30^\circ\text{C}$. Qual é a temperatura do café depois de 6 minutos?

A diferença inicial é:

Depois de 6 minutos, passaram:

períodos. A diferença restante é:

Essa é a diferença entre o café e o ambiente depois de 6 minutos. Como o ambiente está a $30^\circ\text{C}$, a temperatura do café é:

Portanto:

Atividade 9

Um chá está a $80^\circ\text{C}$, e o ambiente está a $20^\circ\text{C}$. A diferença entre a temperatura do chá e a do ambiente cai pela metade a cada 4 minutos.

a) Qual é a diferença inicial entre o chá e o ambiente?

b) Qual é a diferença restante depois de 8 minutos?

c) Qual é a temperatura do chá depois de 8 minutos?

Resumo para resolver questões

Ao encontrar uma questão de potenciação ou função exponencial, siga esta ordem:

1. Identifique se há multiplicação repetida.
2. Identifique a quantidade inicial.
3. Identifique o fator multiplicativo.
4. Identifique quantos períodos passaram.
5. Monte o modelo na forma $Q(t)=Q_0\cdot b^t$, quando houver contexto.
6. Se for equação exponencial, tente escrever os dois lados com a mesma base.

Mini-lista de fixação

Parte A: potenciação

1. Calcule: $2^6$, $3^4$, $10^5$, $5^3$.
2. Calcule: $2^{-3}$, $10^{-2}$, $5^{-1}$.
3. Calcule: $16^{1/2}$, $81^{1/2}$, $27^{1/3}$.
4. Simplifique: $2^3\cdot2^5$.
5. Simplifique: $\dfrac{3^8}{3^2}$.
6. Simplifique: $(5^2)^4$.
7. Corrija o erro: $2^3+2^4=2^7$.
8. Corrija o erro: $(3+4)^2=3^2+4^2$.

Parte B: equações exponenciais

9. Resolva: $2^x=64$.
10. Resolva: $3^x=81$.
11. Resolva: $4^x=32$.
12. Resolva: $5^{x-1}=125$.
13. Resolva: $\left(\dfrac12\right)^x=8$.
14. Resolva: $2^x+2^{x+1}=48$.

Parte C: função exponencial em contexto

15. Uma população começa com 500 indivíduos e dobra a cada mês. Escreva a função e calcule a quantidade depois de 4 meses.
16. Um produto custa R$ 1000,00 e perde 10% do valor por ano. Escreva a função e calcule o valor depois de 2 anos.
17. Uma substância começa com 120 g e cai pela metade a cada hora. Quanto resta depois de 3 horas?
18. Um boato chega a 4 pessoas na primeira rodada. Cada uma conta para 4 novas pessoas. Quantas pessoas recebem o boato na quinta rodada?
19. Uma aplicação de R$ 300,00 cresce 20% ao mês. Quanto haverá após 2 meses?