Porcentagem: parte, todo, taxa e variação

Porcentagem é uma comparação com base 100

A expressão por cento significa a cada 100. Por isso, $p\%$ representa a razão $p/100$ :

\boxed{p\%=\frac{p}{100}}.

Porcentagem não é apenas uma forma de escrever números. Ela permite comparar quantidades de tamanhos diferentes usando a mesma base.

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Leitura intuitiva:

Antes de fazer qualquer conta, pergunte: qual quantidade representa o todo, isto é, o $100\%$ ? Essa pergunta revela a base da comparação e evita a maior parte dos erros.

Formas equivalentes

Uma mesma taxa pode aparecer em forma percentual, fracionária ou decimal.

Porcentagem	Fração sobre 100	Fração simplificada	Decimal
$10\%$	$10/100$	$1/10$	$0{,}10$
$20\%$	$20/100$	$1/5$	$0{,}20$
$25\%$	$25/100$	$1/4$	$0{,}25$
$50\%$	$50/100$	$1/2$	$0{,}50$
$75\%$	$75/100$	$3/4$	$0{,}75$

Exemplo resolvido:

Converta $36\%$ para as formas fracionária e decimal.

36\%=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}=0{,}36.

Agora converta $0{,}8$ para porcentagem:

0{,}8=\frac{80}{100}=80\%.

Explicação conceitual:

Porcentagens também podem ser maiores que $100\%$ . Por exemplo, $125\%=1{,}25$ representa uma quantidade igual a uma vez e um quarto do valor usado como base. Já $200\%$ representa o dobro dessa base.

Atividade:

Resolva 1. Complete as equivalências:

a) $12\%=\dfrac{\square}{\square}=\square$ ;

b) $0{,}35=\square\%=\dfrac{\square}{\square}$ ;

c) $\dfrac34=\square=\square\%$ ;

d) $1{,}2=\square\%$ .

Ver resolução

a) $12\%=12/100=3/25=0{,}12$ ;

b) $0{,}35=35\%=35/100=7/20$ ;

c) $3/4=0{,}75=75\%$ ;

d) $1{,}2=120\%$ .

Cálculo mental: decompor antes de multiplicar

Algumas porcentagens funcionam como peças básicas. A partir delas, muitas contas podem ser resolvidas mentalmente.

Taxa	Estratégia	Taxa	Estratégia
$10\%$	dividir por 10	$1\%$	dividir por 100
$5\%$	metade de $10\%$	$20\%$	dobro de $10\%$
$25\%$	dividir por 4	$50\%$	dividir por 2
$75\%$	calcular $3/4$	$15\%$	somar $10\%+5\%$

Exemplo resolvido:

Calcule $15\%$ de 240. Como $15\%=10\%+5\%$ :

10\%\text{ de }240=24 \qquad\text{e}\qquad 5\%\text{ de }240=12.

Logo,

15\%\text{ de }240=24+12=36.

Atividade:

Resolva 2. Calcule mentalmente $12\%$ de 350, decompondo $12\%$ em $10\%+2\%$ .

Ver resolução

$10\%$ de 350 é 35. Como $1\%$ é $3{,}5$ , então $2\%$ é 7. Portanto,

12\%\text{ de }350=35+7=\boxed{42}.

Os três problemas fundamentais

A relação central da porcentagem é:

Fórmula:

\boxed{\text{parte}=\text{taxa}\cdot\text{todo}}.

A taxa deve ser usada em forma decimal ou fracionária. A palavra “de” costuma indicar uma multiplicação: $30\%$ de 200 é $0{,}30\cdot200$ .

O que falta?	Pergunta típica	Caminho
Parte	Quanto é $p\%$ de um total?	taxa $\cdot$ todo
Todo	Uma parte corresponde a $p\%$ de quanto?	parte $/$ taxa
Taxa	A parte representa quantos por cento do todo?	parte $/$ todo

Tipo 1: encontrar a parte

Exemplo resolvido:

Em uma turma de 40 estudantes, $35\%$ utilizam transporte público. Quantos são?

\text{parte}=0{,}35\cdot40=14.

Portanto, 14 estudantes utilizam transporte público.

Tipo 2: encontrar o todo

Exemplo resolvido:

Em uma atividade, 18 estudantes representam $60\%$ dos presentes. Se $T$ é o total:

0{,}60T=18 \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{18}{0{,}60}=30.

Havia 30 estudantes presentes.

Tipo 3: encontrar a taxa

Exemplo resolvido:

Um estudante acertou 38 das 50 questões de uma prova. A taxa de acerto é

\frac{38}{50}=0{,}76=76\%.

Atividade:

Resolva 3. Identifique o tipo de problema e resolva:

a) Em uma sala com 45 estudantes, $20\%$ faltaram. Quantos faltaram?

b) R$ 24,00 representam $30\%$ de uma compra. Qual era o valor total?

c) Em uma pesquisa com 250 pessoas, 175 responderam “sim”. Qual é a taxa?

Ver resolução

a) Parte: $0{,}20\cdot45=\boxed{9\text{ estudantes}}$ .

b) Todo: $24/0{,}30=\boxed{\text{R\$ }80{,}00}$ .

c) Taxa: $175/250=0{,}70=\boxed{70\%}$ .

Cuidado comum:

Não escolha uma operação apenas porque o enunciado contém o símbolo $\%$ . Primeiro marque a parte, o todo e a taxa. Depois observe qual dessas três quantidades é desconhecida.

Variação percentual: a base é o valor antigo

Uma variação compara a mudança com o valor inicial. A diferença sozinha não informa a intensidade da mudança.

Fórmula:

\boxed{\text{variação percentual} =\frac{\text{valor novo}-\text{valor antigo}}{\text{valor antigo}}\cdot100\%}.

Resultado positivo indica aumento; resultado negativo indica redução.

Exemplo resolvido:

Um produto passou de R$ 80,00 para R$ 100,00. O aumento nominal foi de R$ 20,00, mas a taxa é calculada sobre o preço antigo:

\frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0{,}25=25\%.

Se o preço depois voltar de R$ 100,00 para R$ 80,00, a redução será

\frac{80-100}{100}=-0{,}20=-20\%.

Os percentuais são diferentes porque as bases são diferentes.

Atividade:

Resolva 4. Um salário passou de R$ 1.600,00 para R$ 1.840,00. Determine o aumento percentual.

Ver resolução

O aumento foi $1840-1600=240$ . Comparando com o valor inicial:

\frac{240}{1600}=0{,}15=\boxed{15\%}.

Aumento, desconto e fator de correção

O valor inicial representa $100\%$ dele mesmo. Após um aumento de $p\%$ , o valor final representa $(100+p)\%$ do inicial. Após um desconto, representa $(100-p)\%$ .

Fórmula:

\boxed{\text{aumento de }p\%\;\Longrightarrow\;F=1+\frac{p}{100}}

\boxed{\text{desconto de }p\%\;\Longrightarrow\;F=1-\frac{p}{100}}

\boxed{V_f=V_i\cdot F}.

Situação	Percentual final	Fator
Aumento de $20\%$	$120\%$	$1{,}20$
Aumento de $5\%$	$105\%$	$1{,}05$
Desconto de $30\%$	$70\%$	$0{,}70$
Desconto de $8\%$	$92\%$	$0{,}92$

Exemplo resolvido:

Uma mercadoria de R$ 450,00 recebe desconto de $8\%$ . O fator de desconto é $1-0{,}08=0{,}92$ . Portanto,

450\cdot0{,}92=414.

O preço final é R$ 414,00. Observe que essa conta já retira o desconto; não é necessário subtrair novamente.

Atividade:

Resolva 5. Uma compra de R$ 500,00 recebeu desconto de $18\%$ . Escreva o fator de correção e calcule o valor final.

Ver resolução

O fator é $1-0{,}18=0{,}82$ . Logo,

500\cdot0{,}82=\boxed{\text{R\$ }410{,}00}.

Variações sucessivas

Quando o valor muda mais de uma vez, cada nova porcentagem atua sobre o valor obtido na etapa anterior. Por isso, somar ou subtrair as taxas geralmente produz uma resposta incorreta.

Fórmula:

\boxed{V_f=V_i\cdot F_1\cdot F_2\cdots F_n}.

O produto $F_1F_2\cdots F_n$ é o fator total da transformação.

Exemplo resolvido:

Um produto de R$ 100,00 aumenta $20\%$ e depois recebe desconto de $20\%$ :

100\cdot1{,}20\cdot0{,}80=96.

O fator total é $0{,}96$ , portanto o preço final corresponde a $96\%$ do inicial: houve redução total de $4\%$ .

Cuidado comum:

Aumento de $20\%$ e desconto de $20\%$ não se anulam. O aumento vale R$ 20,00 sobre R$ 100,00, mas o desconto vale R$ 24,00 sobre R$ 120,00.

Exemplo resolvido:

Dois aumentos sucessivos de $10\%$ produzem o fator

1{,}10\cdot1{,}10=1{,}21.

Logo, equivalem a um aumento total de $21\%$ , e não de $20\%$ .

Atividade:

Resolva 6. Uma mensalidade de R$ 600,00 aumenta $8\%$ e depois recebe desconto de $8\%$ . Determine o valor final e a variação total.

Ver resolução

600\cdot1{,}08\cdot0{,}92 =600\cdot0{,}9936 =\boxed{\text{R\$ }596{,}16}.

O fator $0{,}9936$ corresponde a $99{,}36\%$ do valor inicial. Portanto, houve redução total de

100\%-99{,}36\%=\boxed{0{,}64\%}.

Encontrar o valor antes do aumento ou desconto

Às vezes, o enunciado fornece o valor final e pede o valor inicial. Nesse caso, não devemos simplesmente retirar a mesma porcentagem: precisamos dividir pelo fator que produziu o valor final.

Exemplo resolvido:

Depois de um desconto de $20\%$ , um produto passou a custar R$ 144,00. Se $P$ é o preço original:

0{,}80P=144 \quad\Longrightarrow\quad P=\frac{144}{0{,}80}=180.

O preço original era R$ 180,00.

Atividade:

Resolva 7. Após um aumento de $15\%$ , um serviço passou a custar R$ 230,00. Qual era o preço antes do aumento?

Ver resolução

O fator do aumento é $1{,}15$ . Se $P$ é o preço inicial:

1{,}15P=230 \quad\Longrightarrow\quad P=\frac{230}{1{,}15}=\boxed{\text{R\$ }200{,}00}.

Armadilhas frequentes em provas

Porcentagem e pontos percentuais

Exemplo resolvido:

Uma taxa passou de $30\%$ para $42\%$ . A diferença é

42\%-30\%=12\text{ pontos percentuais}.

Já o aumento relativo da taxa é

\frac{42-30}{30}=0{,}40=40\%.

Assim, a taxa aumentou 12 pontos percentuais, o que corresponde a um aumento relativo de $40\%$ .

Promoção “pague 3 e leve 4”

Se cada unidade custa $x$ , quatro unidades custariam $4x$ , mas o consumidor paga $3x$ . O desconto é $x$ sobre o preço original $4x$ :

\frac{x}{4x}=\frac14=25\%.

Lucro: sobre qual valor?

Exemplo resolvido:

Um produto comprado por R$ 80,00 é vendido por R$ 100,00. O lucro nominal é R$ 20,00.

\text{lucro sobre o custo}=\frac{20}{80}=25\%, \qquad \text{lucro sobre a venda}=\frac{20}{100}=20\%.

As taxas diferem porque usam bases diferentes.

Porcentagem de porcentagem

Se $60\%$ dos estudantes frequentam o período noturno e $25\%$ deles trabalham durante o dia, então a parcela do total que estuda à noite e trabalha é

0{,}60\cdot0{,}25=0{,}15=15\%.

Mudança em duas dimensões

Se o comprimento e a largura de um retângulo diminuem $20\%$ , cada dimensão fica multiplicada por $0{,}80$ . Assim, a área fica multiplicada por

0{,}80\cdot0{,}80=0{,}64.

A nova área corresponde a $64\%$ da antiga; a redução da área é de $36\%$ .

Atividade:

Resolva 8. Uma loja anuncia “pague 5 unidades e leve 6”. Qual é o desconto percentual efetivo sobre o valor das seis unidades?

Ver resolução

Sem a promoção, seis unidades custariam $6x$ . O desconto é o preço de uma unidade, (x). Logo,

\frac{x}{6x}=\frac16\approx0{,}1667=\boxed{16{,}67\%}.

Questões contextualizadas

Questão de vestibular:

Questão 1. Uma escola possui 800 estudantes, dos quais $55\%$ estão matriculados no Ensino Médio. Quantos estudantes pertencem a esse grupo?

A) 360

B) 400

C) 420

D) 440

E) 455

Ver resolução

O total é 800 e a taxa é $55\%=0{,}55$ . Procuramos a parte:

0{,}55\cdot800=440.

\boxed{\text{Alternativa D}}.

Questão de vestibular:

Questão 2. Uma turma possui 40 estudantes. Em determinado dia, $10\%$ faltaram. Entre os presentes, $25\%$ não entregaram uma atividade. Quantos estudantes entregaram a atividade?

A) 24

B) 27

C) 30

D) 32

E) 36

Ver resolução

Faltaram $0{,}10\cdot40=4$ , portanto havia $40-4=36$ presentes. Entre eles, $25\%$ não entregaram:

0{,}25\cdot36=9.

Logo, entregaram $36-9=27$ estudantes.

\boxed{\text{Alternativa B}}.

Questão de vestibular:

Questão 3. Um comerciante precisa receber pelo menos R$ 100,00 por um produto. Para anunciar uma promoção, ele fixa o preço de tabela $40\%$ acima desse valor. Qual é o maior desconto percentual sobre o preço de tabela que ainda permite vender o produto por R$ 100,00?

A) $25\%$

B) $28{,}57\%$

C) $30\%$

D) $35\%$

E) $40\%$

Ver resolução

O preço de tabela é

100\cdot1{,}40=140.

O maior desconto nominal possível é $140-100=40$ , mas sua taxa deve ser calculada sobre o preço de tabela:

\frac{40}{140}=\frac27\approx0{,}2857=28{,}57\%.

\boxed{\text{Alternativa B}}.

Roteiro final para qualquer questão

Explicação conceitual:

Identifique o $100\%$ : qual é o todo ou valor de referência?
Marque a parte, o todo e a taxa fornecidos pelo enunciado.
Converta a taxa para decimal ou fração.
Escolha a relação adequada: parte $=$ taxa $\cdot$ todo ou fator de correção.
Em variações sucessivas, multiplique os fatores na ordem em que ocorrem.
Verifique se a resposta é razoável no contexto.

Fórmula:

\boxed{p\%=\frac{p}{100}} \qquad \boxed{\text{parte}=\text{taxa}\cdot\text{todo}}

\boxed{F_{\text{aumento}}=1+\frac{p}{100}} \qquad \boxed{F_{\text{desconto}}=1-\frac{p}{100}}

\boxed{F_{\text{total}}=F_1F_2\cdots F_n}.

Porcentagem: parte, todo, taxa e variação

Porcentagem é uma comparação com base 100

Formas equivalentes

Cálculo mental: decompor antes de multiplicar

Os três problemas fundamentais

Tipo 1: encontrar a parte

Tipo 2: encontrar o todo

Tipo 3: encontrar a taxa

Variação percentual: a base é o valor antigo

Aumento, desconto e fator de correção

Variações sucessivas

Encontrar o valor antes do aumento ou desconto

Armadilhas frequentes em provas

Porcentagem e pontos percentuais

Promoção “pague 3 e leve 4”

Lucro: sobre qual valor?

Porcentagem de porcentagem

Mudança em duas dimensões

Questões contextualizadas

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