Princípio Fundamental da Contagem e permutação simples

Contar resultados sem listar todos os casos

A Análise Combinatória permite calcular quantos resultados um processo pode produzir. A primeira tarefa consiste em definir um resultado completo e separar as decisões necessárias para formá-lo.

Exemplo resolvido:

Na cantina do cursinho há 3 opções de salgado e 2 opções de bebida. Uma pessoa escolherá exatamente um salgado e uma bebida. Quantos lanches diferentes podem ser montados?

Representamos os salgados por $S_1,S_2,S_3$ e as bebidas por $B_1,B_2$ . Uma árvore mostra todas as possibilidades:

Árvore de possibilidades de lanches

Cada uma das 3 escolhas de salgado pode ser acompanhada por qualquer uma das 2 bebidas:

\underbrace{3}_{\text{salgado}}\cdot \underbrace{2}_{\text{bebida}}=6.

Podem ser montados $\boxed{6\text{ lanches}}$ .

Atividade:

Resolva 1. Na mesma cantina, há 4 opções de salgado, 3 opções de bebida e 2 opções de sobremesa.

a) Quantos lanches podem ser montados escolhendo um salgado e uma bebida?

b) Quantos pedidos completos podem ser montados escolhendo um item de cada uma das três categorias?

Ver resolução

a) Um lanche reúne duas decisões. Para cada um dos 4 salgados, há 3 bebidas possíveis:

4\cdot3=\boxed{12\text{ lanches}}.

b) Um pedido completo reúne as três decisões. Cada um dos 12 pares anteriores pode ser acompanhado por uma das 2 sobremesas:

4\cdot3\cdot2=\boxed{24\text{ pedidos}}.

Princípio Fundamental da Contagem

Fórmula:

Se um processo possui $k$ etapas sucessivas e há $n_1,n_2,\ldots,n_k$ opções válidas em cada etapa, o número de resultados completos é:

\boxed{n_1\cdot n_2\cdots n_k}.

Esse resultado é chamado de Princípio Fundamental da Contagem, ou princípio multiplicativo.

A multiplicação é usada porque cada resultado reúne uma escolha da primeira etapa, uma da segunda e assim por diante. O número de opções pode diminuir após uma escolha. Para usar o produto diretamente, conte as opções que restam em cada etapa para cada sequência anterior válida.

Exemplo resolvido:

Uma loja permite configurar uma bicicleta escolhendo 2 modelos de quadro, 3 cores e 2 tipos de guidão. Quantas configurações são possíveis?

Uma configuração completa exige uma escolha de cada categoria:

\underbrace{2}_{\text{quadro}}\cdot \underbrace{3}_{\text{cor}}\cdot \underbrace{2}_{\text{guidão}}=12.

Existem $\boxed{12\text{ configurações}}$ .

Atividade:

Resolva 2. Uma gráfica oferece 3 tamanhos de caderno, 4 cores de capa e 2 tipos de folha. Quantos modelos podem ser produzidos escolhendo uma opção de cada categoria?

Ver resolução

O resultado completo contém tamanho, cor e tipo de folha. Pelo PFC:

3\cdot4\cdot2=\boxed{24\text{ modelos}}.

Somar $3+4+2$ contaria opções isoladas de categorias diferentes. A pergunta solicita combinações formadas por uma escolha de cada categoria.

Cuidado comum:

As palavras e'' e ou” ajudam a ler o enunciado, mas a estrutura do resultado decide a operação. Um caderno possui tamanho e cor e folha, por isso contamos trios e multiplicamos. Se a pessoa comprasse apenas um item, escolhendo um caderno ou uma caneta de conjuntos separados, somaríamos as opções.

Códigos e números: repetição permitida ou proibida

As posições de um código ou número funcionam como etapas. Antes de multiplicar, verifique se uma escolha pode ser repetida e se o zero pode ocupar a primeira posição.

Exemplo resolvido:

Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com $2,3,4,5,6$ ?

O enunciado não proíbe a repetição. Como nenhum algarismo é zero, qualquer uma das 5 opções pode ocupar cada posição:

\underbrace{5}_{\text{centena}}\cdot \underbrace{5}_{\text{dezena}}\cdot \underbrace{5}_{\text{unidade}}=5^3=125.

Podem ser formados $\boxed{125\text{ números}}$ .

Se os algarismos devem ser distintos, uma opção é retirada após cada escolha:

\underbrace{5}_{\text{centena}}\cdot \underbrace{4}_{\text{dezena}}\cdot \underbrace{3}_{\text{unidade}}=60.

Nesse caso, podem ser formados $\boxed{60\text{ números}}$ .

Atividade:

Resolva 3. Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com $1,2,3,4,5,6$ ?

Ver resolução

Há 6 opções para a centena. Depois de usar um algarismo, restam 5 para a dezena e 4 para a unidade:

6\cdot5\cdot4=\boxed{120\text{ números}}.

O produto $6^3$ permitiria repetições como 111 e 232, contrariando a condição do enunciado.

Leitura intuitiva:

Código e número natural não seguem sempre a mesma regra.

Um código de quatro posições pode começar por zero, se o enunciado permitir. Um número natural de quatro algarismos não pode: a escrita 0123 representa o número 123, que possui três algarismos.

Atividade:

Resolva 4. Com os algarismos $0,1,2,3,4$ , sem repetição, determine:

a) quantos códigos de quatro posições podem ser formados, permitindo zero no início;

b) quantos números naturais de quatro algarismos podem ser formados.

Ver resolução

a) Código. A primeira posição aceita qualquer um dos 5 algarismos. Depois restam 4, 3 e 2 opções:

5\cdot4\cdot3\cdot2=\boxed{120\text{ códigos}}.

b) Número natural. A primeira posição aceita apenas $1,2,3,4$ , totalizando 4 opções. Escolhida a primeira, restam 4 algarismos para a segunda posição, pois o zero ainda pode ser usado. Depois restam 3 e 2:

4\cdot4\cdot3\cdot2=\boxed{96\text{ números}}.

Permutação simples

Quando usamos todos os elementos distintos uma única vez e apenas alteramos sua ordem, formamos uma permutação simples.

Fórmula:

O fatorial de $n$ é o produto dos inteiros positivos de $n$ até 1:

n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1, \qquad 0!=1.

O número de permutações simples de $n$ elementos distintos é:

\boxed{P_{n}=n!}.

Essa fórmula vem do PFC: há $n$ opções para a primeira posição, $n-1$ para a segunda e assim por diante.

Exemplo resolvido:

Uma senha utiliza uma única vez cada um dos algarismos $1,2,3,4,5,6$ . Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

Todos os 6 algarismos distintos serão ordenados nas 6 posições:

P_{6}=6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720.

Podem ser formadas $\boxed{720\text{ senhas}}$ .

Atividade:

Resolva 5.

a) Uma senha utiliza uma única vez cada um dos algarismos $1,2,3,4,5$ . Quantas senhas diferentes podem ser formadas?

b) Quantos anagramas podem ser formados com todas as letras da palavra DOCE?

Ver resolução

a) Os cinco algarismos distintos ocupam as cinco posições:

P_{5}=5!=\boxed{120\text{ senhas}}.

b) As quatro letras de DOCE são distintas e todas serão usadas:

P_{4}=4!=\boxed{24\text{ anagramas}}.

Um anagrama é qualquer sequência formada pela reorganização das letras, mesmo que a sequência não seja uma palavra do dicionário.

Cuidado comum:

A fórmula $P_{n}=n!$ conta diretamente ordenações de elementos distintos. Letras repetidas, como em ARARA, geram repetições na contagem e exigem a fórmula de permutação com repetição, estudada em outra aula.

Permutações com restrições

Uma restrição reduz os resultados permitidos. Em vez de calcular o fatorial automaticamente, traduza a condição em posições fixas, blocos ou casos complementares.

Exemplo resolvido:

Cinco pessoas, $A,B,C,D,E$ , vão a um concerto e ocuparão cinco lugares em fila. Determine:

a) de quantas maneiras podem se acomodar sem restrições;

b) de quantas maneiras podem se acomodar se $A$ deve ocupar a primeira cadeira;

c) de quantas maneiras podem se acomodar se $B$ e $C$ devem ficar lado a lado.

a) Sem restrições. Ordenamos as cinco pessoas:

P_{5}=5!=\boxed{120}.

b) Uma posição fixa. A pessoa $A$ já ocupa a primeira cadeira. Restam quatro pessoas para quatro lugares:

1\cdot4!=\boxed{24}.

c) Duas pessoas juntas. Consideramos $B$ e $C$ como um bloco. Ordenamos as quatro unidades $A,[BC],D,E$ de $4!$ maneiras. Dentro do bloco, temos $BC$ ou $CB$ :

4!\cdot2!=24\cdot2=\boxed{48}.

Atividade:

Resolva 6. Considere a palavra ALUNO, cujas cinco letras são distintas.

a) Quantos anagramas podem ser formados se as letras $L,U,N$ devem ficar consecutivas, em qualquer ordem dentro do bloco?

b) Quantos anagramas podem ser formados se $N$ e $O$ não podem ficar consecutivas?

Ver resolução

a) Três letras consecutivas. Consideramos $[LUN]$ como um bloco. Junto com $A$ e $O$ , temos três unidades para ordenar:

3!=6.

Dentro do bloco, $L,U,N$ podem ocupar as três posições em $3!=6$ ordens. Logo:

3!\cdot3!=6\cdot6=\boxed{36\text{ anagramas}}.

b) Duas letras não consecutivas. Começamos com todos os anagramas:

5!=120.

Agora contamos os casos proibidos, nos quais $N$ e $O$ estão juntas. O bloco $[NO]$ , junto com $A,L,U$ , forma quatro unidades. O bloco admite as ordens $NO$ e $ON$ :

4!\cdot2!=24\cdot2=48.

Subtraímos os casos proibidos:

120-48=\boxed{72\text{ anagramas}}.

Questões do ENEM

Questão de vestibular:

Questão 1, ENEM 2012, adaptada.

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos do terceiro ano a participar de uma brincadeira. Existem 5 objetos e 6 personagens em uma casa de 9 cômodos. Um personagem esconde um objeto em um cômodo. Cada estudante deve dar uma resposta diferente, indicando o objeto, o personagem e o cômodo. Um estudante que acertar vence a brincadeira.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

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Conceito usado: PFC.

Uma resposta completa precisa indicar uma opção de cada categoria:

\underbrace{5}_{\text{objeto}}\cdot \underbrace{6}_{\text{personagem}}\cdot \underbrace{9}_{\text{cômodo}}=270.

Existem 270 respostas distintas. Como participarão 280 estudantes e as respostas não podem se repetir:

280-270=10.

Há 10 alunos a mais do que respostas possíveis. $\boxed{\text{Alternativa A}}$ .

O argumento usado é o princípio da casa dos pombos: com mais alunos do que respostas erradas possíveis e respostas todas distintas, alguma resposta será a correta.

Questão de vestibular:

Questão 2, ENEM, adaptada.

A escrita Braille utiliza caracteres formados por 6 pontos dispostos em um retângulo. Em cada posição, o ponto pode estar destacado ou não, e pelo menos um dos seis pontos precisa estar destacado.

O número total de caracteres que podem ser representados é:

A) 12.

B) 31.

C) 36.

D) 63.

E) 720.

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Conceitos usados: PFC e retirada de um caso proibido.

Cada uma das 6 posições possui duas possibilidades: ponto destacado ou não destacado. Sem a restrição, teríamos:

\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}_{6\text{ posições}}=2^6=64.

Esse total inclui a configuração em que nenhum ponto está destacado. Como o enunciado exige pelo menos um destaque, retiramos esse único caso:

64-1=63.

Podem ser representados 63 caracteres. $\boxed{\text{Alternativa D}}$ .

Questão de vestibular:

Questão 3, ENEM, adaptada.

Um artesão cria paisagens com areia colorida. O fundo pode ser azul ou cinza; a casa pode ser azul, verde ou amarela; e a palmeira pode ser cinza ou verde. O fundo não pode ter a mesma cor da casa nem da palmeira.

Quantas variações de paisagem podem ser obtidas?

A) 6.

B) 7.

C) 8.

D) 9.

E) 10.

Ver resolução

Conceito usado: separar a contagem em casos.

O número de opções para as outras partes muda conforme a cor do fundo. Por isso, contamos os dois casos separadamente.

Fundo azul. A casa não pode ser azul, então pode ser verde ou amarela: 2 opções. A palmeira pode ser cinza ou verde: 2 opções.

2\cdot2=4.

Fundo cinza. A casa pode ter qualquer uma das 3 cores disponíveis, pois nenhuma é cinza. A palmeira precisa ser verde: 1 opção.

3\cdot1=3.

Os casos possuem fundos diferentes e não se sobrepõem. Somamos:

4+3=7.

Podem ser obtidas 7 paisagens. $\boxed{\text{Alternativa B}}$ .

Exercícios fundamentais

Atividade:

Resolva 7.

Uma pessoa possui 3 camisetas, 2 calças e 2 pares de tênis. Quantos visuais completos pode montar escolhendo uma peça de cada tipo?
Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com $0,1,2,3,4$ ?
De quantas maneiras 5 pessoas diferentes podem ocupar uma fila de 5 lugares?

Ver resolução

1) Cada visual reúne uma camiseta, uma calça e um par de tênis:

3\cdot2\cdot2=\boxed{12\text{ visuais}}.

2) A primeira posição não pode ser zero, então há 4 opções. Depois restam 4 algarismos, incluindo o zero, e em seguida 3 e 2:

4\cdot4\cdot3\cdot2=\boxed{96\text{ números}}.

3) As cinco pessoas distintas ocupam todas as cinco posições:

P_{5}=5!=\boxed{120\text{ filas}}.

Roteiro para resolver uma questão

Descreva um resultado completo. Identifique todas as escolhas que precisam aparecer nele.
Separe as etapas. Use posições, categorias ou funções para tornar as decisões visíveis.
Conte as opções válidas. Verifique repetição, zero no início, posições fixas e outras restrições.
Multiplique as etapas. Se o número de opções muda conforme uma escolha anterior, divida a contagem em casos e some os totais.
Reconheça a permutação. Quando todos os $n$ elementos distintos ocupam todas as posições, use $P_{n}=n!$ .
Confira o resultado. Veja se a conta incluiu casos proibidos ou deixou de contar uma ordem permitida.

Princípio Fundamental da Contagem e permutação simples

Contar resultados sem listar todos os casos

Princípio Fundamental da Contagem

Códigos e números: repetição permitida ou proibida

Permutação simples

Permutações com restrições

Questões do ENEM

Exercícios fundamentais

Roteiro para resolver uma questão

Questões relacionadas

Sons ambientes