Matemática Financeira: porcentagem, juros e decisões de pagamento

Porcentagem como fator de atualização

Porcentagens aparecem em aumentos de preço, descontos, inflação, impostos e rendimentos. Nos cálculos, a taxa deve ser escrita na forma decimal:

10\%=0{,}10,\qquad 3\%=0{,}03,\qquad 0{,}5\%=0{,}005.

Fórmula:

Se um valor inicial $V$ sofre uma variação de taxa $i$ , então:

\begin{array}{ll} \text{aumento de }i: & V_{\text{novo}}=V(1+i),\\[1mm] \text{desconto de }i: & V_{\text{novo}}=V(1-i). \end{array}

Chamamos $1+i$ e $1-i$ de fatores de atualização.

Exemplo resolvido:

Um produto de $\text{R\$~100,00}$ aumenta 10% e, no mês seguinte, recebe desconto de 10%. Qual é o preço final?

No aumento, multiplicamos por $1+0{,}10=1{,}10$ :

100\cdot1{,}10=110.

O desconto incide sobre o preço atualizado, por isso multiplicamos $110$ por $0{,}90$ :

110\cdot0{,}90=99.

O preço final é $\boxed{\text{R\$~99,00}}$ .

Cuidado comum:

Aumentar $10\%$ e depois descontar $10\%$ não devolve o valor inicial. As taxas são iguais, mas suas bases de cálculo são diferentes. Para desfazer um aumento de $10\%$ , seria preciso dividir o novo valor por $1{,}10$ .

Atividade:

Resolva 1. Uma mochila custa $\text{R\$~240,00}$ . A loja oferece desconto de $15\%$ e, no caixa, aplica mais $5\%$ de desconto sobre o valor já reduzido. Determine o preço final e o desconto percentual total.

Ver resolução

Os fatores de desconto são $0{,}85$ e $0{,}95$ :

V=240\cdot0{,}85\cdot0{,}95=193{,}80.

O fator total foi $0{,}85\cdot0{,}95=0{,}8075$ . Logo, o preço final corresponde a $80{,}75\%$ do inicial e o desconto total é

100\%-80{,}75\%=19{,}25\%.

Resposta: $\boxed{\text{R\$~193,80}\text{ e }19{,}25\%}$ .

Vocabulário financeiro

Explicação conceitual:

O dinheiro possui valor no tempo. Quem empresta ou investe abre mão de usar uma quantia no presente e, em troca, pode receber juros. Em um financiamento, ocorre o movimento inverso: uma quantia é usada agora e devolvida no futuro com acréscimo.

Símbolo	Nome	Significado
$C$	capital ou principal	valor inicial aplicado, emprestado ou financiado
$J$	juros	valor pago ou recebido pelo uso do dinheiro durante certo tempo
$i$	taxa de juros	percentual cobrado ou recebido em cada período
$t$	tempo	quantidade de períodos da operação
$M$	montante	valor final, formado pelo capital mais os juros

Fórmula:

Em qualquer regime de juros:

\boxed{M=C+J}.

Consequentemente, também podemos usar $J=M-C$ e $C=M-J$ .

Cuidado comum:

A taxa e o tempo precisam estar na mesma unidade. Uma taxa de $2\%$ ao mês deve ser combinada com o tempo em meses; uma taxa de $12\%$ ao ano, com o tempo em anos. Essa compatibilidade não significa que $2\%$ ao mês seja sempre igual a $24\%$ ao ano: no regime composto, a equivalência é multiplicativa.

Juros simples: acréscimos iguais

Nos juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial. Assim, o valor dos juros produzidos em cada período é constante.

Fórmula:

\boxed{J=C\cdot i\cdot t} \qquad\text{e}\qquad \boxed{M=C(1+i\cdot t)}.

Como o montante aumenta pela mesma quantia em cada período, seu crescimento é linear.

Exemplo resolvido:

Uma pessoa toma $\text{R\$~500,00}$ emprestados a juros simples de $6\%$ ao mês por 4 meses. Qual será o montante?

Os dados são $C=500$ , $i=0{,}06$ e $t=4$ . Portanto:

J=500\cdot0{,}06\cdot4=120

M=500+120=620.

Ao final, a pessoa pagará $\boxed{\text{R\$~620,00}}$ .

Atividade:

Resolva 2. Um capital de $\text{R\$~2.000,00}$ foi aplicado a juros simples de $0{,}5\%$ ao dia durante dois meses. Considere cada mês com 30 dias. Determine os juros e o montante.

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Como a taxa é diária, escrevemos o tempo em dias: $t=2\cdot30=60$ . Além disso, $0{,}5\%=0{,}005$ . Então:

J=2000\cdot0{,}005\cdot60=600.

Logo,

M=2000+600=2600.

Resposta: $\boxed{J=\text{R\$~600,00}\text{ e }M=\text{R\$~2.600,00}}$ .

Questão de vestibular:

CFTMG. O pagamento de uma televisão foi feito, sem entrada, em cinco parcelas mensais iguais, corrigidas a juros simples pela taxa de $0{,}7\%$ ao mês. No final do período, em quantos por cento o valor total pago será maior que o valor inicial?

a) $2{,}1\%$

b) $3{,}5\%$

c) $4{,}2\%$

d) $7{,}3\%$

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Nos juros simples, a variação acumulada é $i\cdot t$ :

0{,}7\%\cdot5=3{,}5\%.

Resposta: $\boxed{\text{alternativa b}}$ .

Juros compostos: juros sobre juros

Nos juros compostos, cada período começa com o montante acumulado no período anterior. A taxa, portanto, incide sobre uma base que se atualiza.

Fórmula:

\boxed{M=C(1+i)^t} \qquad\text{e}\qquad \boxed{J=M-C}.

O fator $1+i$ é repetido $t$ vezes. Por isso, o crescimento é exponencial.

Exemplo resolvido:

Uma pessoa toma $\text{R\$~500,00}$ emprestados a juros compostos de $6\%$ ao mês por 4 meses. Qual será o montante?

M=500(1+0{,}06)^4=500(1{,}06)^4\approx631{,}24.

Os juros correspondem à diferença entre o montante e o capital:

J=631{,}24-500=131{,}24.

Resposta: $\boxed{M\approx\text{R\$~631,24}\text{ e }J\approx\text{R\$~131,24}}$ .

Atividade:

Resolva 3. Um capital de $\text{R\$~6.000,00}$ foi aplicado a juros compostos de $1\%$ ao mês durante um semestre. Determine o montante e os juros, arredondando para centavos.

Ver resolução

Um semestre possui 6 meses, logo $t=6$ e $i=0{,}01$ :

M=6000(1{,}01)^6\approx6000\cdot1{,}06152015\approx6369{,}12.

Assim,

J=6369{,}12-6000=369{,}12.

Resposta: $\boxed{M\approx\text{R\$~6.369,12}\text{ e }J\approx\text{R\$~369,12}}$ .

Quando a incógnita é a taxa

Exemplo resolvido:

Um capital de $\text{R\$~2.000,00}$ produziu $\text{R\$~165,00}$ de juros compostos em 4 meses. Qual foi aproximadamente a taxa mensal?

Primeiro, calculamos o montante: $M=2000+165=2165$ . Depois:

2165=2000(1+i)^4 \quad\Longrightarrow\quad (1+i)^4=1{,}0825.

Logo,

1+i=\sqrt[4]{1{,}0825}\approx1{,}02 \quad\Longrightarrow\quad i\approx0{,}02.

A taxa foi aproximadamente $\boxed{2\%\text{ ao mês}}$ .

Comparando os regimes de juros

Considere um capital de $\text{R\$~1.000,00}$ , aplicado a $10\%$ ao mês. A tabela mostra a evolução do montante.

Tempo (meses)	Juros simples	Juros compostos
0	$\text{R\$~1.000,00}$	$\text{R\$~1.000,00}$
1	$\text{R\$~1.100,00}$	$\text{R\$~1.100,00}$
2	$\text{R\$~1.200,00}$	$\text{R\$~1.210,00}$
3	$\text{R\$~1.300,00}$	$\text{R\$~1.331,00}$
4	$\text{R\$~1.400,00}$	$\text{R\$~1.464,10}$
5	$\text{R\$~1.500,00}$	$\text{R\$~1.610,51}$

Juros simples e compostos

Leitura intuitiva:

No primeiro período, os dois regimes produzem o mesmo resultado. A partir do segundo, os juros compostos ficam maiores porque os juros já incorporados passam a produzir novos juros.

Atividade:

Resolva 4. Um capital de $\text{R\$~3.000,00}$ é aplicado a $2\%$ ao mês por 10 meses. Calcule o montante nos regimes simples e composto e determine a diferença entre eles.

Ver resolução

No regime simples:

M_s=3000(1+0{,}02\cdot10)=3000\cdot1{,}20=3600.

No regime composto:

M_c=3000(1{,}02)^{10}\approx3656{,}98.

A diferença é

3656{,}98-3600=56{,}98.

Resposta: $\boxed{M_s=\text{R\$~3.600,00},\ M_c\approx\text{R\$~3.656,98}\text{ e diferença }\text{R\$~56,98}}$ .

Taxas equivalentes em juros compostos

Para comparar rendimentos, todas as taxas devem representar o mesmo intervalo de tempo. Em juros compostos, não basta multiplicar ou dividir a porcentagem: devemos comparar os fatores acumulados.

Fórmula:

Se $i_m$ é uma taxa mensal, a taxa anual equivalente $i_a$ satisfaz

\boxed{1+i_a=(1+i_m)^{12}}.

De modo geral, se $n$ períodos menores formam o período maior:

\boxed{i_{\text{maior}}=(1+i_{\text{menor}})^n-1}.

Exemplo resolvido:

Uma pessoa pode investir por um ano em uma das seguintes opções:

\begin{array}{c|c} \toprule A & 3\%\text{ ao mês}\\ B & 36\%\text{ ao ano}\\ C & 18\%\text{ ao semestre}\\ \bottomrule \end{array}

As rentabilidades incidem sobre o valor do período anterior. Qual opção rende mais?

Para A:

(1{,}03)^{12}-1\approx0{,}4258=42{,}58\%.

Para B, a taxa anual já é $36\%$ . Para C:

(1{,}18)^2-1=0{,}3924=39{,}24\%.

Logo, a maior rentabilidade é a do $\boxed{\text{investimento A}}$ .

Atividade:

Resolva 5. Compare duas aplicações compostas: a primeira rende $1\%$ ao mês e a segunda, $12{,}5\%$ ao ano. Qual possui a maior taxa anual efetiva?

Ver resolução

Para a primeira aplicação:

i_a=(1{,}01)^{12}-1\approx0{,}126825=12{,}6825\%.

Como $12{,}6825\%>12{,}5\%$ , a primeira aplicação possui a maior taxa anual efetiva.

\boxed{1\%\text{ ao mês é mais vantajoso}}.

Valor presente e valor futuro

Não é correto somar ou comparar diretamente valores pagos em datas diferentes. Primeiro, escolhemos uma data focal e transportamos todos os valores para essa mesma data.

Fórmula:

Em juros compostos:

\boxed{V_F=V_P(1+i)^t} \qquad\text{e}\qquad \boxed{V_P=\frac{V_F}{(1+i)^t}}.

Levar um valor para o futuro significa multiplicá-lo pelo fator acumulado. Trazê-lo para o presente significa dividir por esse fator.

Linha do tempo financeira

Exemplo resolvido:

Uma bicicleta custa $\text{R\$~900,00}$ à vista ou quatro parcelas mensais de $\text{R\$~240,00}$ , com a primeira paga ao final do primeiro mês. Se o dinheiro rende $2\%$ ao mês, qual opção tem menor valor presente?

Trazemos cada parcela para hoje:

V_P=\frac{240}{1{,}02}+\frac{240}{(1{,}02)^2} +\frac{240}{(1{,}02)^3}+\frac{240}{(1{,}02)^4}.

Calculando cada termo:

V_P\approx235{,}29+230{,}68+226{,}16+221{,}72=913{,}85.

O parcelamento equivale hoje a aproximadamente $\text{R\$~913,85}$ , que é maior que $\text{R\$~900,00}$ . Portanto, a compra $\boxed{\text{à vista}}$ é mais vantajosa por cerca de $\text{R\$~13,85}$ .

Atividade:

Resolva 6. Uma loja oferece um celular por $\text{R\$~1.500,00}$ à vista ou por duas parcelas de $\text{R\$~780,00}$ , pagas em 30 e 60 dias. Considerando uma taxa de referência de $2\%$ ao mês, compare as opções pelo valor presente.

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O valor presente das parcelas é

V_P=\frac{780}{1{,}02}+\frac{780}{(1{,}02)^2} \approx764{,}71+749{,}71=1514{,}42.

Como $\text{R\$~1.514,42}>\text{R\$~1.500,00}$ , o pagamento à vista tem o menor valor presente. A diferença é aproximadamente

1514{,}42-1500=14{,}42.

Resposta: $\boxed{\text{à vista, por cerca de }\text{R\$~14,42}}$ .

Entrada, saldo financiado e taxa embutida

Leitura intuitiva:

A entrada é paga na data da compra e não faz parte do saldo que continuará financiado. Para encontrar a taxa de juros de uma parcela futura, identifique primeiro quanto efetivamente ficou para depois.

Exemplo resolvido:

Um produto custa $\text{R\$~200,00}$ à vista. A loja oferece duas parcelas de $\text{R\$~110,00}$ : uma hoje e outra em 30 dias. Qual é a taxa mensal cobrada sobre o saldo financiado?

Após a entrada, o saldo financiado é

200-110=90.

Como o pagamento futuro é de $\text{R\$~110,00}$ , o juro embutido é

J=110-90=20.

A taxa incide sobre os $\text{R\$~90,00}$ financiados:

i=\frac{20}{90}\approx0{,}2222.

Portanto, $\boxed{i\approx22{,}22\%\text{ ao mês}}$ .

Cuidado comum:

Dividir o juro pelo preço total do produto daria $20/200$ , mas essa base estaria errada. Somente $\text{R\$~90,00}$ permaneceram financiados depois da entrada.

Atividade:

Resolva 7. Um móvel custa $\text{R\$~1.000,00}$ . O comprador paga $\text{R\$~400,00}$ no ato e quita o restante um mês depois, com juros de $5\%$ ao mês. Determine o valor do segundo pagamento.

Ver resolução

O saldo financiado é

1000-400=600.

Após um mês, esse saldo será atualizado pelo fator $1{,}05$ :

600\cdot1{,}05=630.

Resposta: $\boxed{\text{R\$~630,00}}$ .

Questão de vestibular:

UERJ. Um fogão custa $\text{R\$~860,00}$ à vista. No pagamento parcelado, são cobradas duas prestações de $\text{R\$~460,00}$ : a primeira no ato da compra e a segunda após um mês. Qual é a taxa mensal de juros aplicada ao saldo devedor?

a) $10\%$

b) $12\%$

c) $15\%$

d) $18\%$

Ver resolução

Depois da entrada, o saldo financiado é

860-460=400.

O juro cobrado no mês foi

460-400=60.

Assim,

i=\frac{60}{400}=0{,}15=15\%.

Resposta: $\boxed{\text{alternativa c}}$ .

Imposto sobre o rendimento

Quando um investimento possui tributação, é importante verificar a base do imposto. Em muitos problemas, o tributo incide apenas sobre o rendimento, e não sobre todo o montante.

Exemplo resolvido:

Uma pessoa investe $\text{R\$~500,00}$ por um mês. A poupança rende $0{,}560\%$ e é isenta de imposto. Um CDB rende $0{,}876\%$ , mas há imposto de $4\%$ somente sobre o ganho. Qual aplicação gera maior montante líquido?

Na poupança:

M=500(1{,}00560)=502{,}80.

No CDB, o ganho bruto é

J_b=500\cdot0{,}00876=4{,}38.

O imposto e o ganho líquido são

I=0{,}04\cdot4{,}38=0{,}1752, \qquad J_\ell=4{,}38-0{,}1752=4{,}2048.

Logo, o montante líquido é aproximadamente $\text{R\$~504,20}$ . Portanto, o $\boxed{\text{CDB}}$ é mais vantajoso.

Atividade:

Resolva 8. Uma aplicação de $\text{R\$~1.000,00}$ rende $1\%$ em um mês e cobra imposto de $20\%$ sobre o rendimento. Outra aplicação rende $0{,}75\%$ e é isenta. Compare os montantes líquidos.

Ver resolução

Na primeira aplicação, o ganho bruto é $\text{R\$~10,00}$ . O imposto é $20\%$ desse ganho, isto é, $\text{R\$~2,00}$ . Assim, o ganho líquido é $\text{R\$~8,00}$ e o montante é $\text{R\$~1.008,00}$ .

Na segunda aplicação:

M=1000(1+0{,}0075)=1007{,}50.

Resposta: $\boxed{\text{a primeira rende }\text{R\$~1.008,00}\text{ e a segunda, }\text{R\$~1.007,50}}$ . A primeira é melhor por $\text{R\$~0,50}$ .

Questões para consolidar

Questão de vestibular:

Questão 1 — PUC-RJ. Uma garrafa custava $\text{R\$~5,00}$ . No mês seguinte, seu preço subiu $10\%$ e, no outro mês, caiu $10\%$ . Qual passou a ser o preço?

a) $\text{R\$~4,50}$

b) $\text{R\$~4,95}$

c) $\text{R\$~5,00}$

d) $\text{R\$~5,50}$

e) $\text{R\$~6,00}$

Ver resolução

Aplicamos os fatores sucessivos:

5\cdot1{,}10\cdot0{,}90=4{,}95.

Resposta: $\boxed{\text{alternativa b}}$ .

Questão de vestibular:

Questão 2. João deseja comprar um carro que custa $\text{R\$~21.000,00}$ e não terá reajuste nos próximos meses. Ele possui $\text{R\$~20.000,00}$ , que podem ser aplicados a juros compostos de $2\%$ ao mês. Por quanto tempo deverá esperar para que o montante alcance o preço do carro?

a) Dois meses, com a quantia exata.

b) Três meses, com a quantia exata.

c) Três meses, com sobra aproximada de $\text{R\$~225,00}$ .

d) Quatro meses, com a quantia exata.

e) Quatro meses, com sobra aproximada de $\text{R\$~430,00}$ .

Ver resolução

Após dois meses:

20000(1{,}02)^2=20808<21000.

Após três meses:

20000(1{,}02)^3=21224{,}16.

O preço é alcançado no terceiro mês, com sobra de

21224{,}16-21000=224{,}16,

aproximadamente $\text{R\$~225,00}$ . Resposta: $\boxed{\text{alternativa c}}$ .

Atividade:

Resolva 9. Um capital aplicado a juros simples de $18\%$ ao ano produziu montante de $\text{R\$~1.224,00}$ após dois anos. Determine o capital inicial e os juros produzidos.

Ver resolução

Pela fórmula do montante simples:

1224=C(1+0{,}18\cdot2)=1{,}36C.

Logo,

C=\frac{1224}{1{,}36}=900.

Os juros foram

J=1224-900=324.

Resposta: $\boxed{C=\text{R\$~900,00}\text{ e }J=\text{R\$~324,00}}$ .

Roteiro de resolução

Explicação conceitual:

Ao resolver um problema de Matemática Financeira, siga esta sequência:

Localize os valores e suas datas. Separe o que acontece hoje e no futuro.
Identifique a incógnita. A pergunta solicita capital, juros, montante, taxa, tempo ou a melhor opção?
Converta a taxa para decimal e confira se a unidade do tempo é compatível.
Reconheça o regime. Juros simples usam acréscimos iguais; juros compostos usam fatores sucessivos.
Escolha uma data focal se houver pagamentos em momentos diferentes.
Calcule e interprete. Uma resposta financeira deve incluir unidade monetária, período da taxa e comparação com o contexto.

Organize valores, taxas e datas.
Compatibilize taxa e tempo.
Identifique juros simples ou compostos.
Leve os valores à mesma data, quando necessário.
Calcule e interprete a decisão financeira.

Matemática Financeira: porcentagem, juros e decisões de pagamento

Porcentagem como fator de atualização

Vocabulário financeiro

Juros simples: acréscimos iguais

Juros compostos: juros sobre juros

Quando a incógnita é a taxa

Comparando os regimes de juros

Taxas equivalentes em juros compostos

Valor presente e valor futuro

Entrada, saldo financiado e taxa embutida

Imposto sobre o rendimento

Questões para consolidar

Roteiro de resolução

Questões relacionadas

Sons ambientes