Estatística II: média, moda e mediana

Uma medida para resumir muitos valores

Média, moda e mediana são medidas de tendência central. Elas resumem um conjunto, mas respondem a perguntas diferentes.

Medida	Pergunta principal	Quando é especialmente útil
Média	Qual seria o valor se o total fosse repartido igualmente?	dados numéricos sem valores extremos dominantes
Moda	Qual valor ou categoria aparece mais?	preferências, tamanhos e comportamentos mais comuns
Mediana	Qual valor ocupa o centro após ordenar?	preços, rendas e dados com valores muito altos ou baixos

Leitura intuitiva:

Uma medida central não substitui os dados. Dois grupos podem ter a mesma média e distribuições muito diferentes. Sempre interprete o resultado no contexto e, quando possível, observe também a dispersão ou o formato da distribuição.

Média aritmética

A média aritmética pode ser entendida como uma repartição equilibrada: somamos todos os valores e redistribuímos o total igualmente.

Fórmula:

Para $n$ observações:

\boxed{\mathrm{MA}=\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} =\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}}.

Exemplo resolvido:

Um grupo possui pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos. A soma das idades é 107:

\bar{x}=\frac{22+20+21+24+20}{5} =\frac{107}{5}=21{,}4.

A idade média é $21{,}4$ anos. Ninguém precisa ter exatamente essa idade: a média resume o grupo.

Exemplo resolvido:

Um estudante obteve as notas $7{,}5$ , $8{,}5$ , $10{,}0$ e $7{,}0$ .

\bar{x}=\frac{7{,}5+8{,}5+10+7}{4} =\frac{33}{4}=8{,}25.

notas e media

A média $8{,}25$ indica o ponto de equilíbrio das notas, mas não mostra sozinha que houve resultados entre $7{,}0$ e $10{,}0$ .

Atividade:

Resolva 1. Um estudante realizou quatro avaliações. Nas três primeiras, obteve notas 6, 7 e 8. Qual deve ser a quarta nota para que sua média seja $7{,}5$ ?

Ver resolução

Se a média de quatro notas deve ser $7{,}5$ , a soma necessária é:

4\cdot7{,}5=30.

As notas conhecidas somam:

6+7+8=21.

Se $x$ é a quarta nota:

21+x=30 \quad\Longrightarrow\quad x=9.

\boxed{\text{A quarta nota deve ser }9}.

Cuidado comum:

O denominador da média é a quantidade de observações, não a quantidade de valores diferentes. Na lista $7,7,9$ , existem três observações, embora apareçam apenas dois valores distintos.

Média aritmética ponderada

Na média ponderada, os valores não contribuem igualmente. O peso pode representar importância, quantidade de créditos ou frequência.

Fórmula:

\boxed{\mathrm{MP}=\frac{p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n} {p_1+p_2+\cdots+p_n}}.

O denominador é a soma dos pesos.

Exemplo resolvido:

Um estudante obteve $6{,}5$ na prova de peso 2, $7{,}0$ na pesquisa de peso 3, $6{,}0$ no debate de peso 1 e $7{,}0$ no trabalho de peso 2.

Atividade	Nota	Peso
Prova	6,5	2
Pesquisa	7,0	3
Debate	6,0	1
Trabalho	7,0	2

\mathrm{MP}=\frac{2\cdot6{,}5+3\cdot7+1\cdot6+2\cdot7}{2+3+1+2} =\frac{54}{8}=6{,}75.

O peso funciona como quantidade de repetições: uma nota de peso 3 influencia três vezes mais que uma nota de peso 1.

Atividade:

Resolva 2. A nota final de um curso é formada por prova $7{,}0$ , com peso 2; projeto $8{,}0$ , com peso 3; e apresentação $9{,}0$ , com peso 5. Calcule a média ponderada.

Ver resolução

\mathrm{MP}=\frac{2\cdot7+3\cdot8+5\cdot9}{2+3+5} =\frac{14+24+45}{10} =\frac{83}{10}=8{,}3.

\boxed{\mathrm{MP}=8{,}3}.

Frequência como peso

Exemplo resolvido:

Considere a lista

7,7,7,9,9,9,9,9,11,11.

O 7 aparece 3 vezes, o 9 aparece 5 vezes e o 11 aparece 2 vezes. Em vez de reescrever todos os valores:

\bar{x}=\frac{3\cdot7+5\cdot9+2\cdot11}{3+5+2} =\frac{88}{10}=8{,}8.

Uma média calculada em tabela de frequências é uma média ponderada, com as frequências funcionando como pesos.

Moda

A moda é o valor de maior frequência. Ela pode ser numérica ou categórica e não exige somas nem divisões.

Exemplo resolvido:

Durante dez dias, um estudante registrou o tempo de deslocamento até a escola:

15,\ 14,\ 18,\ 15,\ 14,\ 25,\ 16,\ 15,\ 15,\ 16.

O valor 15 aparece quatro vezes, mais do que qualquer outro:

\boxed{\mathrm{Mo}=15\text{ minutos}}.

O valor 25 pode representar um dia atípico, mas não muda o tempo mais frequente.

Explicação conceitual:

Uma distribuição pode ser:

unimodal: uma única moda;
bimodal ou multimodal: duas ou mais modas;
amodal: nenhum valor se repete mais que os demais.

Atividade:

Resolva 3. Determine a moda e classifique cada distribuição:

a) $4,5,5,6,7,7,7,8$ ;

b) $2,2,3,4,4,5$ ;

c) $1,3,5,7,9$ .

Ver resolução

a) O 7 aparece três vezes: distribuição unimodal, com $\mathrm{Mo}=7$ .

b) O 2 e o 4 aparecem duas vezes cada: distribuição bimodal, com modas 2 e 4.

c) Todos os valores aparecem uma vez: distribuição amodal.

Mediana

A mediana é o valor central depois que os dados são colocados em ordem.

Fórmula:

Se $n$ é ímpar, a posição central é $\dfrac{n+1}{2}$ .
Se $n$ é par, calculamos a média dos valores nas posições $\dfrac n2$ e $\dfrac n2+1$ .

Exemplo resolvido:

As faltas registradas em 15 dias foram:

3,5,2,0,2,1,3,4,7,0,2,3,4,5,7.

Ordenando:

0,0,1,2,2,2,3,\boxed{3},3,4,4,5,5,7,7.

A posição central é

\frac{15+1}{2}=8.

Logo, $\boxed{\mathrm{Me}=3}$ .

Exemplo resolvido:

As idades $12,16,14,12,13,16,16,17$ , depois de ordenadas, ficam:

12,12,13,\boxed{14},\boxed{16},16,16,17.

Como existem 8 valores:

\mathrm{Me}=\frac{14+16}{2}=15.

A mediana não precisa ser um valor observado quando a quantidade de dados é par.

Atividade:

Resolva 4. Calcule a mediana:

a) $9,4,7,5,10,6,8$ ;

b) $12,15,11,20,18,14$ .

Ver resolução

a) Ordenando:

4,5,6,\boxed{7},8,9,10.

Há 7 valores; o quarto é central. Portanto, $\mathrm{Me}=7$ .

b) Ordenando:

11,12,\boxed{14},\boxed{15},18,20.

Há 6 valores:

\mathrm{Me}=\frac{14+15}{2}=14{,}5.

Questão de vestibular:

ENEM 2017. Um jornal publicou a quantidade de trotes telefônicos recebidos pelos bombeiros ao longo de um semestre.

Mês	Trotes
Janeiro	18
Fevereiro	20
Março	30
Abril	16
Maio	14
Junho	16

Qual é o valor mediano da quantidade de trotes?

A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 23

Ver resolução

Primeiro, ordenamos os seis valores:

14,16,\boxed{16},\boxed{18},20,30.

Como a quantidade é par, calculamos a média dos dois valores centrais:

\mathrm{Me}=\frac{16+18}{2}=17.

\boxed{\text{Alternativa B}}.

Valores extremos: quando preferir a mediana

A média utiliza todos os valores e, por isso, pode ser fortemente deslocada por uma observação extrema. A mediana depende principalmente da ordem.

Exemplo resolvido:

Considere cinco rendas mensais:

\text{R\$ }2.000,\quad \text{R\$ }2.200,\quad \text{R\$ }2.300,\quad \text{R\$ }2.500,\quad \text{R\$ }15.000.

media mediana valor extremo

A média é

\bar{x}=\frac{2000+2200+2300+2500+15000}{5} =\frac{24000}{5}=4800.

A mediana é o terceiro valor:

\mathrm{Me}=2300.

Neste grupo, a mediana descreve melhor uma renda central típica. A média é verdadeira, mas foi elevada pelo valor de $\text{R\$ }15.000$ .

Atividade:

Resolva 5. Os preços de cinco imóveis são, em milhares de reais,

180,\ 190,\ 200,\ 210,\ 720.

Calcule média e mediana. Qual medida representa melhor um imóvel típico desse pequeno conjunto?

Ver resolução

\bar{x}=\frac{180+190+200+210+720}{5} =\frac{1500}{5}=300.

A mediana é o valor central da lista já ordenada:

\mathrm{Me}=200.

O imóvel de 720 mil reais eleva a média. Para descrever um preço típico deste conjunto, a mediana de $\boxed{200\text{ mil reais}}$ é mais representativa.

Mediana obtida de um gráfico

Questão de vestibular:

ENEM 2017. O gráfico apresenta a taxa de desemprego, em porcentagem, de março de 2008 a abril de 2009, em regiões metropolitanas brasileiras.

taxa desemprego

A mediana das taxas no período foi:

A) $8{,}1\%$

B) $8{,}0\%$

C) $7{,}9\%$

D) $7{,}7\%$

E) $7{,}6\%$

Ver resolução

Nesta questão, há duas etapas: ler os 14 valores do gráfico e depois ordená-los.

6{,}8,\ 7{,}5,\ 7{,}6,\ 7{,}6,\ 7{,}7,\ 7{,}9,\ \boxed{7{,}9},\ \boxed{8{,}1},\ 8{,}2,\ 8{,}5,\ 8{,}5,\ 8{,}6,\ 8{,}9,\ 9{,}0.

Os valores centrais ocupam as posições 7 e 8:

\mathrm{Me}=\frac{7{,}9+8{,}1}{2}=8{,}0\%.

\boxed{\text{Alternativa B}}.

Cuidado comum:

Para calcular a mediana, os valores precisam ser ordenados por tamanho. A ordem cronológica dos meses serve para ler o gráfico, mas não é a ordem usada no cálculo.

Média, moda e mediana em tabela de frequências

Exemplo resolvido:

Uma turma de 40 estudantes informou o número de irmãos.

Irmãos	Frequência	Frequência acumulada
0	8	8
1	15	23
2	12	35
3	5	40
Total	40

distribuicao irmaos

A média usa a frequência como peso:

\bar{x}=\frac{8\cdot0+15\cdot1+12\cdot2+5\cdot3}{40} =\frac{54}{40}=1{,}35.

A maior frequência é 15, associada a 1 irmão:

\mathrm{Mo}=1.

Como há 40 estudantes, a mediana usa as posições 20 e 21. Pela frequência acumulada, as posições 9 a 23 correspondem a 1 irmão:

\mathrm{Me}=1.

Atividade:

Resolva 6. Uma pesquisa sobre livros lidos no mês apresentou:

Livros	Estudantes
0	4
1	8
2	5
3	3

Calcule a média, a moda e a mediana.

Ver resolução

O total é $4+8+5+3=20$ .

Média:

\bar{x}=\frac{0\cdot4+1\cdot8+2\cdot5+3\cdot3}{20} =\frac{27}{20}=1{,}35.

Moda: a maior frequência é 8, associada a 1 livro; logo, $\mathrm{Mo}=1$ .

Mediana: as posições 10 e 11 estão entre as posições 5 e 12, todas associadas a 1 livro. Logo, $\mathrm{Me}=1$ .

Dados agrupados em classes

Quando conhecemos apenas intervalos, não sabemos os valores individuais. Para estimar a média, usamos o ponto médio de cada classe:

\mathrm{VM}=\frac{\text{limite inferior}+\text{limite superior}}{2}.

Exemplo resolvido:

Peso (kg)	$\mathrm{FA}$	$\mathrm{VM}$	$\mathrm{FA}\cdot\mathrm{VM}$
40 a 44	1	42	42
44 a 48	3	46	138
48 a 52	7	50	350
52 a 56	6	54	324
56 a 60	3	58	174
Total	20		1028

A média aproximada é:

\bar{x}\approx\frac{1028}{20}=51{,}4\text{ kg}.

A classe modal é 48 a 52 kg, pois possui frequência 7. Representando-a pelo ponto médio, $\mathrm{Mo}\approx50$ kg.

As posições 10 e 11 também estão na classe de 48 a 52 kg. Usando o ponto médio, $\mathrm{Me}\approx50$ kg.

Cuidado comum:

As medidas calculadas com pontos médios são aproximações. A tabela informa apenas os intervalos; não sabemos os pesos exatos dentro de cada classe.

Atividade:

Resolva 7. Uma distribuição de tempos possui 5 observações entre 0 e 10 minutos, 9 entre 10 e 20 minutos e 6 entre 20 e 30 minutos. Estime a média usando os pontos médios.

Ver resolução

Os pontos médios são 5, 15 e 25 minutos. Portanto:

\bar{x}\approx\frac{5\cdot5+9\cdot15+6\cdot25}{5+9+6} =\frac{25+135+150}{20} =\frac{310}{20}=15{,}5.

\boxed{\bar{x}\approx15{,}5\text{ minutos}}.

Questão de síntese

Questão de vestibular:

ENEM. O quadro mostra o desempenho de um time no último campeonato.

Gols marcados	Quantidade de partidas
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Se $X$ , $Y$ e $Z$ são, respectivamente, média, mediana e moda, então:

A) $X=Y<Z$

B) $Z<X=Y$

C) $Y<Z<X$

D) $Z<X<Y$

E) $Z<Y<X$

Ver resolução

O total é $5+3+4+3+2+2+1=20$ partidas.

Média:

X=\frac{0\cdot5+1\cdot3+2\cdot4+3\cdot3+4\cdot2+5\cdot2+7\cdot1}{20} =\frac{45}{20}=2{,}25.

Moda: 0 gol possui a maior frequência:

Z=0.

Mediana: pela frequência acumulada, as posições 9 a 12 correspondem a 2 gols. Assim:

Y=2.

Portanto:

Z<Y<X \quad\Longleftrightarrow\quad 0<2<2{,}25.

\boxed{\text{Alternativa E}}.

Roteiro final

Explicação conceitual:

Identifique se os dados estão em lista, gráfico, tabela de frequências ou classes.
Para a média, some todos os valores considerando suas repetições e divida pelo total.
Para a média ponderada, multiplique cada valor por seu peso e divida pela soma dos pesos.
Para a moda, localize a maior frequência.
Para a mediana, ordene os dados e encontre a posição central.
Se houver valores extremos, compare média e mediana antes de escolher a melhor descrição.
Em dados agrupados, deixe claro que as medidas obtidas com pontos médios são aproximadas.

Situação	Decisão principal
Lista de valores	Somar para a média e ordenar para a mediana.
Pesos diferentes	Usar a média ponderada e dividir pela soma dos pesos.
Tabela de frequências	Tratar a frequência como repetição ou peso.
Valor extremo	Comparar média e mediana.
Classes	Utilizar pontos médios e interpretar o resultado como aproximação.

Estatística II: média, moda e mediana

Uma medida para resumir muitos valores

Média aritmética

Média aritmética ponderada

Frequência como peso

Moda

Mediana

Valores extremos: quando preferir a mediana

Mediana obtida de um gráfico

Média, moda e mediana em tabela de frequências

Dados agrupados em classes

Questão de síntese

Roteiro final

Questões relacionadas

Sons ambientes