Estatística I: leitura e análise de gráficos e tabelas

Da pergunta aos dados

A Estatística transforma informações individuais em conclusões sobre um grupo. Uma pesquisa começa com uma pergunta, define quem será observado, escolhe as características de interesse e organiza os resultados.

Explicação conceitual:

População ou universo estatístico: conjunto completo sobre o qual se deseja concluir.
Amostra: parte da população efetivamente observada.
Indivíduo ou unidade estatística: cada elemento pesquisado.
Variável: característica registrada em cada indivíduo.

Uma amostra grande não é automaticamente boa. Ela também precisa representar a população. Uma enquete respondida espontaneamente pelos visitantes de um site descreve seus participantes, mas pode não representar toda a população brasileira.

Exemplo resolvido:

Uma escola possui 5 turmas de 45 estudantes. Para estudar os hábitos de leitura, são sorteados 5 estudantes de cada turma.

A população possui

5\cdot45=225\text{ estudantes}.

A amostra possui

5\cdot5=25\text{ estudantes}.

Cada estudante sorteado é uma unidade estatística. O número de livros lidos no mês é uma possível variável.

Tipos de variável

Tipo	Como reconhecer	Exemplos
Qualitativa nominal	categorias sem ordem natural	cor dos olhos, bairro, meio de transporte
Qualitativa ordinal	categorias com ordem natural	escolaridade, avaliação ruim/regular/boa
Quantitativa discreta	resultado de uma contagem	número de irmãos, faltas, livros
Quantitativa contínua	resultado de uma medição	altura, massa, temperatura, tempo

Atividade:

Resolva 1. Uma pesquisa registra o turno, o nível de satisfação com a escola, o número de faltas e a altura de cada estudante. Classifique as quatro variáveis.

Ver resolução

Turno: qualitativa nominal, pois manhã, tarde e noite são categorias sem hierarquia.
Satisfação: qualitativa ordinal, pois níveis como ruim, regular e bom podem ser ordenados.
Número de faltas: quantitativa discreta, pois é obtido por contagem.
Altura: quantitativa contínua, pois é obtida por medição e pode assumir valores decimais.

Frequência absoluta e frequência relativa

A frequência absoluta informa quantas vezes um valor aparece. A frequência relativa compara essa contagem com o total observado.

Fórmula:

\boxed{\mathrm{FR}=\frac{\mathrm{FA}}{\text{total}}} \qquad\text{e}\qquad \boxed{\mathrm{FR}(\%)=\frac{\mathrm{FA}}{\text{total}}\cdot100}.

A soma das frequências absolutas é o tamanho da amostra. A soma das frequências relativas é $1$ , ou $100\%$ .

Exemplo resolvido:

Quarenta estudantes informaram como chegam ao cursinho.

Meio de transporte	$\mathrm{FA}$	$\mathrm{FR}$
Ônibus	18	$18/40=45\%$
Trem ou metrô	12	$12/40=30\%$
Carro ou moto	6	$6/40=15\%$
Bicicleta ou caminhada	4	$4/40=10\%$
Total	40	$100\%$

transporte turma

A categoria mais frequente é ônibus: 18 dos 40 estudantes, isto é, $45\%$ da turma.

Atividade:

Resolva 2. Em uma pesquisa com 50 estudantes, 20 disseram estudar à noite, 15 à tarde e 15 pela manhã.

a) Determine a frequência relativa de cada período.

b) Qual período possui maior frequência absoluta?

c) É correto afirmar que mais da metade estuda à noite?

Ver resolução

\FR_{\text{noite}}=\frac{20}{50}=40\%,\qquad \FR_{\text{tarde}}=\frac{15}{50}=30\%,\qquad \FR_{\text{manhã}}=\frac{15}{50}=30\%.

A noite possui a maior frequência absoluta, com 20 estudantes. Porém, $40\%<50\%$ , então não é correto afirmar que mais da metade estuda à noite.

Roteiro TITULO para ler representações

Antes de calcular, use a palavra TITULO como uma lista de verificação.

T	Título: sobre o que é a representação?
I	Informação: qual variável está sendo medida?
T	Total: qual é a população, a amostra ou a base da porcentagem?
U	Unidade: pessoas, reais, quilogramas, porcentagem ou pontos percentuais?
L	Legenda e escala: o que cada cor representa? O eixo começa em zero?
O	Observação crítica: qual conclusão os dados permitem? O gráfico pode induzir ao erro?

Exemplo resolvido:

Uma turma registrou a quantidade de estudantes presentes em sete simulados.

presenca simulados

O eixo horizontal mostra os meses e o vertical, o número de estudantes. O maior valor ocorreu em julho, com 48 presentes; o menor, em maio, com 41. A queda de abril para maio foi de

45-41=4\text{ estudantes}.

O gráfico permite identificar maio como um valor baixo em relação aos meses vizinhos, mas não explica a causa dessa queda.

Atividade:

Resolva 3. Com base no gráfico de presença:

a) calcule a amplitude, isto é, a diferença entre o maior e o menor valor;

b) determine a variação percentual de maio para junho;

c) explique por que o gráfico não permite concluir que houve abandono do cursinho em maio.

Ver resolução

a) A amplitude é

48-41=\boxed{7\text{ estudantes}}.

b) De maio para junho, a presença aumentou de 41 para 46:

\frac{46-41}{41}\cdot100=\frac{5}{41}\cdot100\approx12{,}2\%.

c) O gráfico apresenta contagens, mas não informa quem faltou nem por quê. Uma queda pontual pode ter várias causas; seria necessário investigar outros dados antes de afirmar que houve abandono.

Gráficos de colunas e barras

Gráficos de colunas ou barras comparam categorias. O comprimento de cada barra representa sua frequência ou valor. Como a comparação é feita pelo comprimento, a escala normalmente deve começar em zero.

Exemplo resolvido:

Uma escola registrou a preferência de 84 estudantes por quatro atividades de sábado.

preferencia atividades

Matemática teve a maior preferência, com 30 estudantes. Sua frequência relativa foi:

\frac{30}{84}\cdot100\approx35{,}7\%.

A diferença entre Matemática e Cultura foi de $30-12=18$ estudantes.

Atividade:

Resolva 4. Usando o gráfico de atividades:

a) determine a porcentagem de estudantes que escolheram Esporte;

b) calcule a porcentagem que escolheu Redação ou Cultura;

c) compare Matemática e Redação por meio de uma razão.

Ver resolução

\frac{24}{84}\cdot100\approx28{,}6\%.

\frac{18+12}{84}\cdot100=\frac{30}{84}\cdot100\approx35{,}7\%.

\frac{30}{18}=\frac{5}{3}\approx1{,}67.

Para cada 3 estudantes que escolheram Redação, aproximadamente 5 escolheram Matemática.

Gráfico de linhas ou segmentos

O gráfico de linhas é adequado para acompanhar a evolução de uma variável ordenada, geralmente ao longo do tempo. Cada ponto representa um período, e os segmentos ajudam a perceber crescimento, queda e estabilidade.

Exemplo resolvido:

Uma livraria registrou suas vendas no segundo semestre.

vendas livros

de julho para agosto, as vendas caíram $350-300=50$ livros;
de agosto para setembro, aumentaram $400-300=100$ livros;
de setembro para outubro, permaneceram estáveis em 400;
dezembro apresentou o maior valor: 500 livros.

Atividade:

Resolva 5. Com base no gráfico de vendas:

a) em qual passagem ocorreu a maior variação absoluta?

b) qual foi o aumento percentual de agosto para setembro?

c) qual foi a média mensal de livros vendidos no semestre?

Ver resolução

a) As variações sucessivas foram $-50$ , $+100$ , $0$ , $+50$ e $+50$ . A maior variação absoluta ocorreu de agosto para setembro: 100 livros.

\frac{400-300}{300}\cdot100\approx33{,}3\%.

\bar{x}=\frac{350+300+400+400+450+500}{6} =\frac{2400}{6}=400.

A média foi de $\boxed{400\text{ livros por mês}}$ .

Gráficos de setores

Gráficos de setores mostram como um total se divide em partes. Eles são adequados quando as categorias são mutuamente exclusivas e, juntas, representam $100\%$ .

Fórmula:

\boxed{\text{ângulo do setor}=\frac{\text{percentual}}{100}\cdot360^\circ}

\boxed{\text{percentual}=\frac{\text{ângulo}}{360^\circ}\cdot100}.

Exemplo resolvido:

Um estudante distribuiu 4 horas de estudo entre quatro áreas.

planejamento estudo

Quatro horas correspondem a 240 minutos. O tempo de Matemática é

0{,}40\cdot240=96\text{ minutos}.

Redação ocupa um quarto do total:

0{,}25\cdot240=60\text{ minutos}.

Atividade:

Resolva 6. No planejamento apresentado:

a) determine o ângulo do setor de Humanas;

b) quantos minutos a mais são destinados a Matemática do que a Natureza?

Ver resolução

\frac{20}{100}\cdot360^\circ=72^\circ.

b) Natureza recebe $0{,}15\cdot240=36$ minutos:

96-36=\boxed{60\text{ minutos}}.

Questão de vestibular:

ENEM. O gráfico refere-se ao número de habitantes das cinco zonas de uma cidade.

zonas cidade

A zona central tem a mesma população que as zonas norte, oeste e leste juntas. A zona sul possui a metade dos habitantes da zona oeste. Qual é a soma percentual dos habitantes das zonas norte, leste e sul?

A) $29\%$

B) $31\%$

C) $41\%$

D) $42\%$

E) $53\%$

Ver resolução

A zona central corresponde ao setor de $47\%$ , pois três dos outros setores precisam totalizar esse valor.

Como a zona sul tem metade da população da zona oeste, o único par possível é

\text{oeste}=12\%,\qquad \text{sul}=6\%.

Os setores norte e leste são $24\%$ e $11\%$ , em alguma ordem. Assim:

24\%+11\%+6\%=41\%.

\boxed{\text{Alternativa C}}

Cuidado comum:

Evite gráficos de setores quando houver muitas categorias, setores muito parecidos ou comparação ao longo do tempo. Nesses casos, barras ou linhas costumam ser mais legíveis.

Histogramas e dados agrupados

Quando uma variável contínua apresenta muitos valores diferentes, podemos agrupá-los em intervalos chamados classes. O histograma representa essas classes por barras encostadas.

Leitura intuitiva:

Em um gráfico de barras, as categorias são separadas. Em um histograma, as barras se encostam porque os intervalos formam uma escala contínua.

Exemplo resolvido:

As alturas de 20 estudantes foram agrupadas em classes de amplitude $0{,}03$ m.

histograma alturas

A classe modal é de $1{,}68$ m a menos de $1{,}71$ m, com 6 estudantes. Sua frequência relativa é

\frac{6}{20}\cdot100=30\%.

Atividade:

Resolva 7. Com base no histograma:

a) quantos estudantes têm altura de $1{,}65$ m a menos de $1{,}74$ m?

b) qual percentual possui altura de $1{,}74$ m a menos de $1{,}80$ m?

c) é possível determinar a altura exata de cada estudante?

Ver resolução

3+6+4=\boxed{13\text{ estudantes}}.

\frac{3+2}{20}\cdot100=25\%.

c) Não. O histograma informa apenas em qual intervalo cada observação está. Os valores exatos foram perdidos no agrupamento.

Tabelas complexas: o denominador manda

Uma tabela pode misturar totais, subgrupos e porcentagens. Antes de dividir, complete mentalmente a frase: percentual de quem?

Exemplo resolvido:

Uma prefeitura acompanha um programa de coleta seletiva.

Bairro	Cadastradas	Participantes	Material (kg)
A	800	320	960
B	500	250	875
C	300	210	630

Maior número absoluto: A, com 320 participantes.

Maior proporção:

A:\frac{320}{800}=40\%,\quad B:\frac{250}{500}=50\%,\quad C:\frac{210}{300}=70\%.

O bairro C possui a maior participação relativa.

Mais material por participante:

A:\frac{960}{320}=3,\quad B:\frac{875}{250}=3{,}5,\quad C:\frac{630}{210}=3.

O bairro B possui o maior valor por participante.

Cuidado comum:

O bairro considerado “melhor” muda conforme o indicador. Quantidade absoluta, proporção e média por participante respondem a perguntas diferentes.

Tabela de dupla entrada

Oficina	Manhã	Tarde	Noite	Total
Redação	12	8	20	40
Matemática	10	15	15	40
Atualidades	8	7	5	20
Total	30	30	40	100

Atividade:

Resolva 8. Utilize a tabela das oficinas.

a) Dos estudantes da manhã, qual percentual está em Atualidades?

b) Dos estudantes de Atualidades, qual percentual estuda à tarde?

c) Qual percentual do total representa Redação à tarde?

Ver resolução

\frac{8}{30}\cdot100\approx26{,}7\%.

\frac{7}{20}\cdot100=35\%.

\frac{8}{100}\cdot100=8\%.

Os numeradores podem até ser iguais, mas os denominadores dependem do grupo indicado.

Gráficos enganosos e leitura crítica

Dois gráficos podem representar os mesmos números e provocar impressões muito diferentes.

eixo truncado

Explicação conceitual:

Nos dois gráficos, A vale 48 e B vale 52. A diferença absoluta é

52-48=4.

No gráfico da direita, o eixo começa em 44. Como as barras exibem somente a parte acima de 44, B parece ter o dobro da altura de A. Os números não mudaram; mudou a impressão visual.

Pontos percentuais e aumento percentual

Se uma taxa passa de $20\%$ para $25\%$ , a diferença é

25\%-20\%=5\text{ pontos percentuais}.

O aumento relativo usa $20\%$ como base:

\frac{25-20}{20}\cdot100=25\%.

Atividade:

Resolva 9. Uma pesquisa apresenta apoio de $40\%$ em janeiro e $50\%$ em fevereiro.

a) Qual foi a variação em pontos percentuais?

b) Qual foi o aumento percentual relativo?

c) Se cada pesquisa ouviu 800 pessoas, quantos apoiadores a mais foram observados?

Ver resolução

50\%-40\%=\boxed{10\text{ pontos percentuais}}.

\frac{50-40}{40}\cdot100=25\%.

0{,}50\cdot800-0{,}40\cdot800=400-320=80.

Foram observados $\boxed{80\text{ apoiadores a mais}}$ .

Roteiro final de resolução

Explicação conceitual:

Identifique população, amostra e variável.
Leia título, eixos, legenda, escala e unidade.
Procure o total que funciona como denominador.
Diferencie contagem absoluta de proporção.
Escolha o tipo de gráfico: barras para categorias, linhas para evolução, setores para partes de um todo e histograma para intervalos contínuos.
Faça a conta e escreva a conclusão com sua unidade.
Verifique se a representação permite a conclusão ou apenas sugere uma hipótese.

Representação	Pergunta que responde melhor
Tabela de frequências	Quantas observações há em cada valor ou categoria?
Gráfico de barras	Qual categoria tem maior ou menor valor?
Gráfico de linhas	Como uma quantidade evolui em uma sequência ordenada?
Gráfico de setores	Como um total de $100\%$ se divide em poucas partes?
Histograma	Como uma variável contínua se distribui entre intervalos?

Estatística I: leitura e análise de gráficos e tabelas

Da pergunta aos dados

Tipos de variável

Frequência absoluta e frequência relativa

Roteiro TITULO para ler representações

Gráficos de colunas e barras

Gráfico de linhas ou segmentos

Gráficos de setores

Histogramas e dados agrupados

Tabelas complexas: o denominador manda

Tabela de dupla entrada

Gráficos enganosos e leitura crítica

Pontos percentuais e aumento percentual

Roteiro final de resolução

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