Equações do 1º grau e sistemas

Nível: básico para intermediário.

Objetivo: definir a incógnita, montar uma equação ou um sistema, resolver e verificar se a resposta atende ao problema.

Equações

Uma equação é uma igualdade com uma ou mais quantidades desconhecidas, representadas por letras. Nesta primeira parte, trabalharemos com apenas uma incógnita, geralmente chamada de $x$ .

Na equação $x+5=12$ , a expressão $x+5$ é o primeiro membro, e o número $12$ é o segundo membro. Cada membro representa um dos lados da igualdade.

Explicação conceitual

Resolver uma equação significa encontrar todos os valores permitidos para a incógnita que tornam a igualdade verdadeira. Cada valor encontrado é uma raiz ou solução.

O conjunto solução, representado por $S$ , reúne esses valores. Quando a única solução é 7, escrevemos $S=\{7\}$ .

Nas equações sem contexto desta aula, consideramos $x\in\mathbb{R}$ : a incógnita pode assumir valores reais, incluindo negativos, frações e decimais. Nos problemas, o contexto pode restringir as respostas. Uma quantidade de cadernos deve ser inteira e não negativa.

Exemplo resolvido: testar um valor.

O número 7 é solução de $x+5=12$ ? Substituímos $x$ por 7:

7+5=12\quad\Rightarrow\quad12=12.

A igualdade é verdadeira. Logo, 7 é solução.

Se testarmos $x=4$ , o lado esquerdo será $4+5=9$ , diferente de 12. Assim, 4 não é solução. Testar um valor verifica um candidato; resolver a equação determina o conjunto completo de soluções.

A igualdade como uma balança

Imagine uma balança equilibrada. Os objetos dos dois pratos podem ser diferentes, mas a massa total de um lado é igual à do outro. Se retirarmos a mesma massa dos dois lados, o equilíbrio será mantido.

Com uma equação, a lógica é semelhante: fazemos uma transformação que preserva a igualdade e suas soluções, até deixar a incógnita isolada.

Fórmula

Se $A=B$ , podemos:

\begin{aligned} A+c&=B+c &&\text{somar o mesmo número;}\\ A-c&=B-c &&\text{subtrair o mesmo número;}\\ cA&=cB &&\text{multiplicar pelo mesmo número;}\\ \frac{A}{c}&=\frac{B}{c} &&\text{dividir pelo mesmo número.} \end{aligned}

Para que multiplicação e divisão preservem o conjunto solução, usamos $c\neq0$ . Dividir por zero é indefinido. Multiplicar por zero apaga a informação: qualquer equação viraria $0=0$ .

Exemplo resolvido: retirar a mesma quantidade dos dois membros.

Resolva $x+3=10$ . Para descobrir apenas $x$ , subtraímos 3 dos dois membros:

x+3-3=10-3\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=7}.

A conferência é $7+3=10$ .

E quando há multiplicação? Em $5x=45$ , cinco vezes o número procurado resulta em 45. Dividimos os dois membros por 5:

\frac{5x}{5}=\frac{45}{5}\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=9}.

Cuidado comum

A expressão “passar para o outro lado trocando o sinal” abrevia uma operação nos dois membros. Em $x+3=10$ , escrever $x=10-3$ funciona porque subtraímos 3 dos dois lados.

Se um número multiplica a incógnita, usamos divisão: em $5x=45$ , obtemos $x=45/5$ .

Atividade 1

Resolva mostrando a operação aplicada aos dois membros.

a) $x+9=21$ .

b) $x-6=14$ .

c) $5x=45$ .

d) $\dfrac{x}{4}=7$ .

e) $-2x=18$ .

f) $\dfrac{x}{-3}=5$ .

Ver resolução

a) Subtraímos 9: $x+9-9=21-9$ . Logo, $\boxed{x=12}$ .

b) Somamos 6: $x-6+6=14+6$ . Logo, $\boxed{x=20}$ .

c) Dividimos por 5: $5x/5=45/5$ . Logo, $\boxed{x=9}$ .

d) Multiplicamos por 4: $4\cdot(x/4)=4\cdot7$ . Logo, $\boxed{x=28}$ .

e) Dividimos por $-2$ : $(-2x)/(-2)=18/(-2)$ . Logo, $\boxed{x=-9}$ . Conferindo: $(-2)\cdot(-9)=18$ .

f) Multiplicamos por $-3$ : $(-3)\cdot[x/(-3)]=(-3)\cdot5$ . Logo, $\boxed{x=-15}$ . Conferindo: $(-15)/(-3)=5$ .

Operações inversas: por onde começar?

Quando uma expressão aplica várias operações à incógnita, podemos desfazê-las na ordem inversa. Somar e subtrair são operações inversas. Multiplicar e dividir por um número diferente de zero também são.

Exemplo resolvido: desfazer uma sequência.

Resolva $3x+5=20$ .

Para calcular $3x+5$ , primeiro multiplicamos $x$ por 3 e depois somamos 5. Na resolução, começamos desfazendo a soma:

3x+5-5=20-5\quad\Rightarrow\quad3x=15.

Agora desfazemos a multiplicação:

\frac{3x}{3}=\frac{15}{3}\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=5}.

Conferindo: $3\cdot5+5=20$ .

Leitura intuitiva

Em $\dfrac{x-1}{3}=4$ , o numerador inteiro foi dividido por 3. Primeiro multiplicamos os dois membros por 3, obtendo $x-1=12$ . Depois somamos 1, chegando a $x=13$ .

Os parênteses e a barra de fração indicam quais operações estão agrupadas. A expressão $(x-1)/3$ é diferente de $x-1/3$ .

Atividade 2

Resolva as equações.

a) $2x+7=19$ .

b) $4x-3=25$ .

c) $-3x+8=20$ .

d) $\dfrac{x}{5}+2=9$ .

e) $15-2x=7$ .

f) $\dfrac{x-1}{3}=4$ .

Ver resolução

a) Subtraindo 7: $2x=12$ . Dividindo por 2: $\boxed{x=6}$ .

b) Somando 3: $4x=28$ . Dividindo por 4: $\boxed{x=7}$ .

c) Subtraindo 8: $-3x=12$ . Dividindo por $-3$ : $\boxed{x=-4}$ .

d) Subtraindo 2: $x/5=7$ . Multiplicando por 5: $\boxed{x=35}$ .

e) Subtraindo 15: $-2x=-8$ . Dividindo por $-2$ : $\boxed{x=4}$ . O sinal negativo faz parte do coeficiente de $x$ .

f) Multiplicando por 3: $x-1=12$ . Somando 1: $\boxed{x=13}$ .

Como transformar um enunciado em equação

Montar a equação exige identificar a relação entre as quantidades. Comece escrevendo o que a letra representa e sua unidade. Depois expresse as demais informações usando essa escolha.

Informação em palavras	Representação
O dobro de uma quantidade $x$	$2x$
Cinco a mais que uma quantidade $x$	$x+5$
Cinco a menos que uma quantidade $x$	$x-5$
A metade de uma quantidade $x$	$x/2$
O dobro da soma de $x$ com 5	$2(x+5)$
A soma do dobro de $x$ com 5	$2x+5$

O sinal de igualdade aparece quando o enunciado informa um total, uma equivalência ou duas maneiras de calcular a mesma quantidade.

Exemplo resolvido: impressão de uma lista.

Uma papelaria cobra R$ 2,00 pela encadernação e R$ 0,25 por página impressa. Um estudante pagou R$ 9,50. Quantas páginas foram impressas?

Seja $x$ o número de páginas. A encadernação é cobrada uma vez; a impressão custa $0{,}25x$ . Assim:

\underbrace{2}_{\text{custo fixo}}+ \underbrace{0{,}25x}_{\text{custo das páginas}}=9{,}50.

Subtraímos o custo fixo e dividimos pelo preço de uma página:

0{,}25x=7{,}50\quad\Rightarrow\quad x=\frac{7{,}50}{0{,}25}=30.

Foram impressas $\boxed{30\text{ páginas}}$ . Conferindo: $2+0{,}25\cdot30=9{,}50$ .

Exemplo resolvido: média de notas.

A média final é a média aritmética de três provas. Um aluno tirou 5,5 e 7,0 nas primeiras provas. Que nota precisa tirar na terceira para obter média 6,5?

A média aritmética é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Se $x$ é a nota da terceira prova:

\frac{5{,}5+7{,}0+x}{3}=6{,}5.

Multiplicamos os dois membros por 3. A soma das três notas deve ser $3\cdot6{,}5=19{,}5$ :

12{,}5+x=19{,}5\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=7{,}0}.

Conferindo: $(5{,}5+7{,}0+7{,}0)/3=6{,}5$ .

Exemplo resolvido: organização dos estudos.

Uma estudante quer resolver 40 questões na semana e já resolveu 16. Quantas deve resolver por dia, em quantidades iguais, nos próximos 4 dias?

Se $x$ é a quantidade por dia, $4x$ é o que ela ainda resolverá:

16+4x=40\quad\Rightarrow\quad4x=24\quad\Rightarrow\quad x=6.

A meta será atingida com $\boxed{6\text{ questões por dia}}$ .

Atividade 3

Defina a incógnita, monte a equação e responda com a unidade adequada.

a) Um pacote de canetas custa R$ 18,00. João comprou um pacote e alguns cadernos de R$ 12,00 cada, pagando R$ 66,00. Quantos cadernos comprou?

b) Um aplicativo de transporte cobra R$ 5,00 de taxa inicial e R$ 2,50 por quilômetro, sem outras cobranças. Uma corrida custou R$ 25,00. Qual foi a distância percorrida?

c) Uma estudante tinha certa quantia no bilhete de transporte. Depois de gastar R$ 9,60, ficou com R$ 14,40. Quanto havia antes?

d) Um restaurante cobra R$ 54,00 por quilograma de comida. A comida de um prato custou R$ 32,40, com a massa do prato vazio já descontada. Quantos gramas de comida havia?

Ver resolução

a) Seja $x$ a quantidade de cadernos. O pacote tem custo fixo de 18 reais:

18+12x=66\Rightarrow12x=48\Rightarrow x=4.

João comprou 4 cadernos. O total confere: $18+12\cdot4=66$ .

b) Seja $x$ a distância, em quilômetros:

5+2{,}50x=25\Rightarrow2{,}50x=20\Rightarrow x=8.

A distância foi de 8 km. A parcela por distância foi $2{,}50\cdot8=20$ reais.

c) Seja $x$ o saldo inicial, em reais. O gasto foi retirado desse saldo:

x-9{,}60=14{,}40\Rightarrow x=14{,}40+9{,}60=24.

Havia R$ 24,00.

d) Seja $x$ a massa da comida, em quilogramas:

54x=32{,}40\Rightarrow x=\frac{32{,}40}{54}=0{,}6\text{ kg}.

Convertendo: $0{,}6\cdot1000=600$ . Havia 600 g de comida.

Quando a incógnita aparece nos dois membros

Uma equação pode comparar duas expressões que dependem de $x$ . Nesse caso, reunimos os termos com a incógnita em um membro e os números no outro, aplicando as mesmas operações aos dois lados.

Exemplo resolvido: comparar dois planos de impressão.

Para um serviço de impressão, o plano A cobra R$ 10,00 fixos e R$ 0,50 por página. O plano B cobra R$ 4,00 fixos e R$ 0,80 por página. Para quantas páginas os custos são iguais?

Se $x$ é o número de páginas, igualamos os custos:

10+0{,}50x=4+0{,}80x.

Subtraímos $0{,}50x$ dos dois membros:

10=4+0{,}30x.

Subtraímos 4 e dividimos por $0{,}30$ :

6=0{,}30x\quad\Rightarrow\quad x=20.

Os custos são iguais para $\boxed{20\text{ páginas}}$ . Nesse caso, ambos cobram R$ 20,00.

Atividade 4

O dobro de um número, acrescido de 6, é igual ao triplo desse número, diminuído de 4. Qual é o número?

Ver resolução

Chamamos o número de $x$ . As duas expressões são $2x+6$ e $3x-4$ :

2x+6=3x-4.

Subtraímos $2x$ dos dois membros, obtendo $6=x-4$ . Somamos 4 aos dois membros:

\boxed{x=10}.

Conferindo: $2\cdot10+6=26$ e $3\cdot10-4=26$ .

Parênteses e propriedade distributiva

Parênteses indicam um agrupamento. Na expressão $3(x+4)$ , o fator 3 multiplica o resultado inteiro de $x+4$ . Podemos distribuir a multiplicação pelos dois termos:

3(x+4)=3x+12.

Uma forma de compreender é escrever $(x+4)+(x+4)+(x+4)$ : aparecem três parcelas $x$ e três parcelas 4.

Fórmula

A propriedade distributiva vale para soma e subtração:

a(b+c)=ab+ac,\qquad a(b-c)=ab-ac.

Com um fator negativo, cada produto deve respeitar a regra de sinais:

-2(x-3)=(-2)x+(-2)(-3)=-2x+6.

Exemplo resolvido: escolher uma forma de resolver.

Resolva $3(x+4)=27$ .

Dividindo primeiro. Como o membro esquerdo inteiro é um produto por 3, dividimos ambos os membros por 3:

x+4=9\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=5}.

Usando a distributiva. Também podemos desenvolver o produto:

3x+12=27\Rightarrow3x=15\Rightarrow\boxed{x=5}.

As duas sequências preservam a igualdade. Aqui, dividir primeiro exige menos contas.

Exemplo resolvido: parênteses nos dois membros.

Resolva $2(x+5)=3(x-1)$ . Distribuímos os fatores:

2x+10=3x-3.

Subtraímos $2x$ dos dois membros e somamos 3 aos dois membros:

10=x-3\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=13}.

Conferindo na equação original: $2(13+5)=36$ e $3(13-1)=36$ .

Cuidado comum

O fator deve multiplicar todos os termos dentro dos parênteses. Por exemplo, $2(x+3)=2x+6$ .

Um sinal de menos antes dos parênteses equivale a multiplicar por $-1$ : $-(x-3)=-x+3$ .

Atividade 5

Resolva as equações.

a) $2(x+3)=18$ .

b) $5(x-2)=30$ .

c) $3(x+1)=2x+9$ .

d) $4(x-2)=2(x+5)$ .

e) $-2(x-3)=10$ .

f) $6-2(x+1)=0$ .

Ver resolução

a) Dividimos por 2 e subtraímos 3:

x+3=9\Rightarrow\boxed{x=6}.

b) Dividimos por 5 e somamos 2:

x-2=6\Rightarrow\boxed{x=8}.

c) Distribuímos o 3 e subtraímos $2x$ dos dois membros:

3x+3=2x+9\Rightarrow x+3=9\Rightarrow\boxed{x=6}.

d) Distribuímos os dois fatores:

4x-8=2x+10\Rightarrow2x-8=10\Rightarrow2x=18\Rightarrow\boxed{x=9}.

e) Dividimos os dois membros por $-2$ :

x-3=-5\Rightarrow\boxed{x=-2}.

Conferindo: $-2(-2-3)=-2(-5)=10$ .

f) O fator $-2$ multiplica $x$ e 1:

6-2x-2=0\Rightarrow4-2x=0\Rightarrow-2x=-4\Rightarrow\boxed{x=2}.

Frações: eliminar denominadores com o MMC

Em uma equação com frações, podemos multiplicar os dois membros por um múltiplo comum dos denominadores. O MMC, mínimo múltiplo comum, permite fazer isso com o menor inteiro positivo possível.

Essa multiplicação alcança todos os termos, inclusive os que não estão escritos como frações. Depois resolvemos a equação com as ferramentas já estudadas. Aqui, os denominadores serão números conhecidos diferentes de zero.

Exemplo resolvido: uma fração e um número inteiro.

Resolva $x/3+2=6$ . Multiplicamos os dois membros por 3 e distribuímos:

3\left(\frac{x}{3}+2\right)=3\cdot6 \quad\Rightarrow\quad x+6=18.

Subtraindo 6, obtemos $\boxed{x=12}$ . Conferindo: $12/3+2=6$ .

Exemplo resolvido: dois denominadores.

Resolva:

\frac{x+2}{3}+\frac{x-1}{2}=8.

Os múltiplos positivos de 3 começam em $3,6,9,\ldots$ , e os de 2 em $2,4,6,\ldots$ . O primeiro em comum é 6. Multiplicamos toda a equação por 6:

6\cdot\frac{x+2}{3}+6\cdot\frac{x-1}{2}=6\cdot8.

Na primeira fração, $6/3=2$ ; na segunda, $6/2=3$ . Os numeradores permanecem agrupados:

2(x+2)+3(x-1)=48.

Aplicamos a distributiva e reunimos os termos semelhantes:

2x+4+3x-3=48\Rightarrow5x+1=48.

Subtraímos 1 e dividimos por 5:

5x=47\quad\Rightarrow\quad\boxed{x=\frac{47}{5}=9{,}4}.

Uma solução decimal é válida. Conferindo: $11{,}4/3+8{,}4/2=3{,}8+4{,}2=8$ .

Cuidado comum

Ao multiplicar $x/3+2=6$ por 3, a parcela 2 também é multiplicada. O resultado é $x+6=18$ .

O produto cruzado se aplica a uma igualdade entre duas frações, com denominadores não nulos. Quando há uma soma de frações, multiplicar todos os termos pelo MMC organiza a resolução.

Atividade 6

Resolva considerando $x\in\mathbb{R}$ . Se a incógnita desaparecer, examine a igualdade que restou.

a) $\dfrac{x}{2}+3=11$ .

b) $\dfrac{x-4}{5}=3$ .

c) $\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{6}=9$ .

d) $\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{x-2}{3}=7$ .

e) $\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{x+5}{2}$ .

f) $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}+5=20$ .

Ver resolução

a) Subtraímos 3 e multiplicamos por 2:

x/2=8\Rightarrow\boxed{x=16}.

b) Multiplicamos por 5 e somamos 4:

x-4=15\Rightarrow\boxed{x=19}.

c) O MMC de 3 e 6 é 6. Multiplicando todos os termos:

2x+x=54\Rightarrow3x=54\Rightarrow\boxed{x=18}.

d) O MMC de 2 e 3 é 6:

3(x+1)+2(x-2)=42\Rightarrow3x+3+2x-4=42.

Assim, $5x-1=42$ , então $5x=43$ e $\boxed{x=43/5=8{,}6}$ .

e) Multiplicamos os dois membros por 4:

2x-1=2(x+5)\Rightarrow2x-1=2x+10.

Subtraindo $2x$ dos dois membros, obtemos $-1=10$ , uma igualdade falsa. Nenhum valor de $x$ satisfaz a equação: $\boxed{S=\varnothing}$ .

f) O MMC é 6, e o termo 5 também deve ser multiplicado:

3x+2x+30=120\Rightarrow5x=90\Rightarrow\boxed{x=18}.

Forma geral e quantidade de soluções

Depois de simplificar os parênteses, eliminar os denominadores numéricos e reunir os termos, uma equação do primeiro grau em uma incógnita pode ser escrita na forma:

Fórmula

ax+b=0,\qquad a\neq0.

O número $a$ é o coeficiente de $x$ ; $b$ é o termo independente. Como $a\neq0$ , podemos isolar a incógnita:

ax=-b\quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{a}.

Há uma única solução real. Na forma reduzida, a incógnita aparece elevada à primeira potência.

Exemplo resolvido: identificar os coeficientes.

Em $3x+12=0$ , temos $a=3$ e $b=12$ . Subtraindo 12 e dividindo por 3:

3x=-12\Rightarrow x=-4\Rightarrow\boxed{S=\{-4\}}.

Nas equações que estamos simplificando, os termos com $x$ também podem se cancelar. Se o coeficiente final for zero, a forma reduzida já não será de primeiro grau. Precisamos observar o que sobra.

Igualdade final	Interpretação	Soluções em $\mathbb{R}$
$2x=4$	Apenas $x=2$ funciona.	$S=\{2\}$
$0x=0$	A igualdade vale para qualquer real.	$S=\mathbb{R}$
$0x=5$	A igualdade é falsa para qualquer real.	$S=\varnothing$

Atividade 7

Determine o conjunto solução em $\mathbb{R}$ .

a) $2(x+3)=2x+6$ .

b) $2(x+3)=2x+9$ .

c) $2(x+3)=x+9$ .

Ver resolução

a) Distribuindo: $2x+6=2x+6$ . Subtraindo $2x+6$ dos dois membros, sobra $0=0$ . Todo número real funciona: $\boxed{S=\mathbb{R}}$ .

b) Distribuindo: $2x+6=2x+9$ . Subtraindo $2x$ , sobra $6=9$ . Não há solução: $\boxed{S=\varnothing}$ .

c) Distribuindo: $2x+6=x+9$ . Subtraindo $x$ e depois 6, obtemos $x=3$ . Há uma única solução: $\boxed{S=\{3\}}$ .

Sistemas: duas quantidades desconhecidas

Um sistema reúne equações que precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo. Ele permite usar diferentes informações sobre as mesmas incógnitas.

Saber apenas que um sanduíche e um suco custam juntos R$ 11,00 não determina cada preço. Há várias combinações possíveis: 7 e 4 reais, 6 e 5 reais, entre outras. Uma segunda informação pode permitir distinguir essas possibilidades.

Exemplo resolvido: montar o sistema da cantina.

Duas compras foram feitas na mesma cantina, com os mesmos preços unitários:

Compra	Sanduíches	Sucos	Total
A	2	1	R$ 18,00
B	1	2	R$ 15,00

Sejam $s$ o preço de um sanduíche e $u$ o preço de um suco, ambos em reais.

A compra A fornece $2s+u=18$ . A compra B fornece $s+2u=15$ . Reunimos as duas informações:

\begin{cases} 2s+u=18,\\ s+2u=15. \end{cases}

A solução deve ser um par $(s,u)$ que satisfaça as duas equações. Vamos encontrá-lo por dois métodos.

Método da substituição

Se duas expressões são iguais, podemos substituir uma pela outra. Isolamos uma incógnita em uma das equações e usamos essa expressão na outra. Assim, ficamos com uma equação de uma incógnita.

Exemplo resolvido: resolver a cantina por substituição.

Da primeira equação, subtraímos $2s$ dos dois membros:

u=18-2s.

Na segunda equação, $s+2u=15$ , substituímos $u$ por $18-2s$ . Como há $2u$ , a expressão inteira é multiplicada por 2:

s+2(18-2s)=15.

Distribuindo e simplificando:

s+36-4s=15\Rightarrow-3s+36=15\Rightarrow-3s=-21.

Dividindo por $-3$ , encontramos $s=7$ . Agora usamos esse valor para calcular $u$ :

u=18-2\cdot7=4.

O sanduíche custa R$ 7,00, e o suco custa R$ 4,00.

Conferimos nas duas compras:

2\cdot7+4=18,\qquad7+2\cdot4=15.

Na ordem $(s,u)$ , o conjunto solução é $\boxed{S=\{(7,4)\}}$ .

Método da adição

Podemos somar os membros correspondentes de duas igualdades. Escolhemos multiplicadores para que uma incógnita apareça com coeficientes opostos e se anule na soma.

Exemplo resolvido: resolver a cantina por adição.

No sistema

\begin{cases} 2s+u=18,\\ s+2u=15, \end{cases}

queremos eliminar $u$ . Multiplicamos toda a primeira equação por $-2$ , obtendo $-4s-2u=-36$ . Mantemos a segunda e somamos:

\begin{array}{rrrrr} -4s&-&2u&=&-36\\ s&+&2u&=&15\\ \hline -3s&&&=&-21 \end{array}

Os termos $-2u$ e $+2u$ somam zero. Dividindo por $-3$ , obtemos $s=7$ .

Substituímos na segunda equação:

7+2u=15\Rightarrow2u=8\Rightarrow u=4.

Encontramos novamente $\boxed{(s,u)=(7,4)}$ .

Leitura intuitiva

Como escolher? A substituição costuma ser conveniente quando uma incógnita tem coeficiente 1 ou $-1$ . A adição costuma simplificar as contas quando os coeficientes já são opostos ou podem se tornar opostos com multiplicadores pequenos.

Cuidado comum

Duas equações não garantem, por si só, uma única solução. Por exemplo, $x+y=10$ e $2x+2y=20$ repetem a mesma condição e admitem infinitos pares reais. Já $x+y=10$ e $x+y=12$ são incompatíveis.

Nos problemas a seguir, as duas informações permitem determinar um único par. Confira sempre esse par nas duas equações.

Problemas com sistemas

Em problemas de quantidades e preços, uma equação costuma registrar a contagem total e outra, o valor total. Cada termo precisa respeitar a unidade da informação representada.

Exemplo resolvido: ingressos de um evento escolar.

Foram vendidos 30 ingressos. O ingresso adulto custava R$ 15,00, e o estudantil, R$ 10,00. A arrecadação foi de R$ 350,00. Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos?

Sejam $a$ a quantidade de ingressos adultos e $e$ a de estudantis. A contagem e a arrecadação fornecem:

\begin{cases} a+e=30,\\ 15a+10e=350. \end{cases}

Na primeira equação, somamos ingressos. Na segunda, somamos valores em reais.

Dividindo toda a segunda equação por 5, obtemos $3a+2e=70$ . Da primeira, $e=30-a$ . Substituímos:

3a+2(30-a)=70\Rightarrow3a+60-2a=70\Rightarrow a=10.

Logo, $e=30-10=20$ . Foram vendidos 10 ingressos adultos e 20 estudantis.

Conferindo: $10+20=30$ ingressos e $15\cdot10+10\cdot20=350$ reais.

Atividade 8

Monte um sistema e resolva. Os preços unitários permanecem iguais nas compras de cada item.

a) Na papelaria, 2 canetas e 1 caderno custam R$ 17,00. Uma caneta e 2 cadernos custam R$ 19,00. Quanto custa cada item?

b) Em uma lanchonete, 3 pães de queijo e 2 cafés custam R$ 22,00. Um pão de queijo e 2 cafés custam R$ 14,00. Qual o preço de cada pão de queijo e de cada café?

c) Uma sala tem 36 estudantes entre meninos e meninas. O número de meninas é 4 a mais que o de meninos. Quantos meninos e meninas há?

d) Um estacionamento recebeu 18 veículos entre carros e motos. Foram contadas 56 rodas, considerando 4 por carro e 2 por moto. Quantos carros e motos havia?

Ver resolução

a) Sejam $p$ o preço de uma caneta e $c$ o de um caderno, em reais:

\begin{cases}2p+c=17,\\p+2c=19.\end{cases}

Isolamos $c=17-2p$ e substituímos na segunda equação:

p+2(17-2p)=19\Rightarrow-3p+34=19\Rightarrow p=5.

Então $c=17-10=7$ . A caneta custa R$ 5,00, e o caderno, R$ 7,00. Conferindo: $2\cdot5+7=17$ e $5+2\cdot7=19$ .

b) Sejam $p$ o preço de um pão de queijo e $c$ o de um café:

\begin{cases}3p+2c=22,\\p+2c=14.\end{cases}

Subtraímos a segunda equação da primeira. As parcelas $2c$ se anulam:

2p=8\Rightarrow p=4.

Substituindo na segunda: $4+2c=14$ , então $c=5$ . O pão de queijo custa R$ 4,00, e o café, R$ 5,00. Os totais são $3\cdot4+2\cdot5=22$ e $4+2\cdot5=14$ .

c) Sejam $x$ o número de meninos e $y$ o de meninas:

\begin{cases}x+y=36,\\y=x+4.\end{cases}

Substituímos $y$ na primeira equação:

x+(x+4)=36\Rightarrow2x=32\Rightarrow x=16.

Logo, $y=20$ . Há 16 meninos e 20 meninas. A soma é 36 e a diferença é 4.

d) Sejam $c$ a quantidade de carros e $m$ a de motos:

\begin{cases}c+m=18,\\4c+2m=56.\end{cases}

Multiplicamos a primeira equação por $-2$ : $-2c-2m=-36$ . Somando com a segunda:

2c=20\Rightarrow c=10.

Assim, $m=18-10=8$ . Havia 10 carros e 8 motos. Conferindo as rodas: $4\cdot10+2\cdot8=56$ .

Aplicações do ENEM

As três questões a seguir são adaptações de enunciados do ENEM para simplificar. As adaptações condensam a redação e mantêm os dados necessários ao raciocínio. A sequência vai da capacidade de carga à mistura e à modelagem de um sistema.

Atividade 9: capacidade de carga

ENEM (simplificado). Um caminhão suporta, no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Ele já está carregado com 900 telhas. Considerando iguais as massas das telhas entre si e dos tijolos entre si, quantos tijolos podem ser acrescentados sem ultrapassar a capacidade máxima?

A) 300.

B) 360.

C) 400.

D) 480.

E) 600.

Ver resolução

Conceito usado: fração de uma capacidade total. Uma carga completa corresponde a 1. As 900 telhas ocupam a fração $900/1500$ dessa capacidade. Se $x$ é o número de tijolos acrescentados, eles ocupam a fração $x/1200$ .

No limite da capacidade:

\frac{900}{1500}+\frac{x}{1200}=1.

Simplificamos $900/1500=3/5$ e subtraímos essa fração dos dois membros:

\frac{x}{1200}=1-\frac35=\frac25.

Multiplicamos por 1200:

x=1200\cdot\frac25=480.

Cabem 480 tijolos. $\boxed{\text{Alternativa D}}$ .

As 900 telhas usam 60% da capacidade, restando 40% para tijolos. Subtrair 900 de 1200 misturaria contagens de objetos com massas diferentes.

Atividade 10: mistura de combustíveis

ENEM (simplificado). Um tanque contém 40000 litros de uma mistura com 25% de etanol e 75% de gasolina. Quantos litros de gasolina pura devem ser adicionados para que o etanol passe a representar 20% do volume final? Considere que os volumes se somam.

A) 32000.

B) 16000.

C) 10000.

D) 8000.

E) 2000.

Ver resolução

Conceito usado: porcentagem como parte de um total. Adicionar gasolina pura aumenta o volume total e mantém a quantidade de etanol.

Inicialmente, há $0{,}25\cdot40000=10000$ litros de etanol. Seja $x$ o volume de gasolina adicionado, em litros. O volume final é $40000+x$ . Queremos que 20% desse novo total corresponda aos 10000 litros de etanol:

0{,}20(40000+x)=10000.

Dividindo por $0{,}20$ :

40000+x=50000\Rightarrow x=10000.

Devem ser adicionados 10000 litros de gasolina. $\boxed{\text{Alternativa C}}$ .

Conferindo: o volume final será 50000 litros, dos quais $10000/50000=20\%$ serão etanol. A queda de 25% para 20% usa um total que também mudou.

Atividade 11: escolher o sistema correto

ENEM (simplificado). Um fundo pretende arrecadar R$ 36,14 milhões, recebendo R$ 0,28 por tonelada de soja e R$ 0,22 por tonelada de milho comercializadas. A previsão é comercializar, no total, 150,5 milhões de toneladas dos dois produtos.

Se $x$ e $y$ representam, respectivamente, as quantidades de soja e milho em toneladas, qual sistema descreve essa previsão?

A) $\begin{cases}x+y=150500000,\\0{,}28x+0{,}22y=36140000.\end{cases}$

B) $\begin{cases}x+y=150500000,\\0{,}22x+0{,}28y=36140000.\end{cases}$

C) $\begin{cases}x+y=150{,}5,\\0{,}28x+0{,}22y=36140000.\end{cases}$

D) $\begin{cases}x+y=150{,}5,\\0{,}28x+0{,}22y=36{,}14.\end{cases}$

E) $\begin{cases}x+y=150500000,\\0{,}28x+0{,}22y=36{,}14.\end{cases}$

Ver resolução

Conceito usado: modelagem e unidades. A primeira equação soma quantidades em toneladas. Como $x$ e $y$ foram definidos em toneladas, escrevemos o total nessa unidade:

x+y=150500000.

A segunda equação soma valores arrecadados em reais. A soja contribui com $0{,}28x$ , e o milho, com $0{,}22y$ :

0{,}28x+0{,}22y=36140000.

O sistema correto é o da $\boxed{\text{alternativa A}}$ . A pergunta pede a representação, então não precisamos calcular $x$ e $y$ .

Na alternativa B, as contribuições por produto foram trocadas. C e E misturam as escalas. A alternativa D serviria se as incógnitas fossem definidas em milhões de toneladas e a arrecadação em milhões de reais; essa não foi a definição adotada no enunciado.

Roteiro para resolver uma questão

Identifique a pergunta. Escreva o que cada incógnita representa e sua unidade.
Represente as relações. Diferencie quantidades, preços unitários, totais e partes de um total.
Organize a equação. Observe os agrupamentos, distribua os fatores quando necessário e elimine denominadores numéricos com uma operação nos dois membros.
Encontre as soluções. Isole a incógnita ou use substituição/adição em um sistema. Se as letras desaparecerem, examine a igualdade restante.
Confira e interprete. Substitua os valores nas equações originais e verifique se atendem ao contexto. Converta a unidade quando a pergunta exigir.

Equações do 1º grau e sistemas

Equações

A igualdade como uma balança

Atividade 1

Operações inversas: por onde começar?

Atividade 2

Como transformar um enunciado em equação

Atividade 3

Quando a incógnita aparece nos dois membros

Atividade 4

Parênteses e propriedade distributiva

Atividade 5

Frações: eliminar denominadores com o MMC

Atividade 6

Forma geral e quantidade de soluções

Atividade 7

Sistemas: duas quantidades desconhecidas

Método da substituição

Método da adição

Problemas com sistemas

Atividade 8

Aplicações do ENEM

Atividade 9: capacidade de carga

Atividade 10: mistura de combustíveis

Atividade 11: escolher o sistema correto

Roteiro para resolver uma questão

Questões relacionadas

Sons ambientes