Matemática para o ENEM

Probabilidade

Probabilidade simples e condicional

probabilidade simples; regra do ou; regra do e

probabilidade simplesregra do ouregra do e
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Probabilidade mede a chance de um acontecimento ocorrer. Em problemas de vestibular, a dificuldade nem sempre está na fórmula isolada. Muitas vezes, a parte mais importante é decidir qual conta representa o enunciado.

Nesta aula, a ideia é reconhecer três situações que aparecem com frequência: quando contamos casos favoráveis entre casos possíveis, quando o enunciado pede uma possibilidade ou outra, e quando o enunciado exige uma coisa e depois outra. A palavra “chance” pode aparecer em forma de fração, decimal ou porcentagem:

14=0,25=25%\frac{1}{4}=0{,}25=25\%

Quando a resposta estiver em porcentagem, multiplicamos o decimal por 100. Quando estiver em fração, simplificamos sempre que possível.

Probabilidade simples

Explicação conceitual

Um experimento aleatório é uma situação em que sabemos quais resultados podem aparecer, mas não sabemos qual deles vai acontecer antes de realizar o experimento. Sortear um bilhete, lançar um dado e retirar uma bola de uma caixa são exemplos desse tipo de situação.

O conjunto com todos os resultados possíveis recebe o nome de espaço amostral. Um evento é uma parte desse conjunto. Se todos os resultados têm a mesma chance, a probabilidade de um evento é calculada comparando os casos favoráveis com os casos possíveis:

Fórmula

P(A)=casos favoraˊveiscasos possıˊveisP(A)=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}

O numerador conta os resultados que atendem ao enunciado. O denominador conta todos os resultados possíveis do sorteio ou experimento.

Exemplo resolvido: durante o sorteio de uma rifa, há 40 bilhetes numerados de 1 a 40. Um bilhete será sorteado. Qual é a probabilidade de sair um múltiplo de 5?

O espaço amostral tem 40 resultados possíveis, pois qualquer bilhete de 1 a 40 pode ser sorteado. Agora contamos os múltiplos de 5:

5,10,15,20,25,30,35,405,10,15,20,25,30,35,40

Há 8 bilhetes favoráveis. Logo:

P(muˊltiplo de 5)=840P(\text{múltiplo de 5})=\frac{8}{40}

Simplificando:

840=15=20%\frac{8}{40}=\frac{1}{5}=20\%

Portanto, a probabilidade é:

20%\boxed{20\%}

Atividade 1

Na mesma rifa, com bilhetes numerados de 1 a 40, calcule:

a) a probabilidade de sair um número par;

b) a probabilidade de sair um número maior que 30;

c) a probabilidade de sair o número 41.

Ver resolução

a) Entre 1 e 40, metade dos números é par. São 20 números pares em 40 possíveis:

P(par)=2040=12=50%P(\text{par})=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}=50\%

b) Os números maiores que 30 são:

31,32,33,34,35,36,37,38,39,4031,32,33,34,35,36,37,38,39,40

São 10 números em 40 possíveis:

P(maior que 30)=1040=14=25%P(\text{maior que 30})=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}=25\%

c) O número 41 não está na rifa, pois os bilhetes vão de 1 a 40. O número de casos favoráveis é zero:

P(41)=040=0P(41)=\frac{0}{40}=0

Atividade 2

Dois dados comuns são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter soma igual a 10 nas faces de cima?

Ver resolução

Em dois dados, cada dado tem 6 possibilidades. Como os dados são lançados simultaneamente, podemos representar o resultado como um par ordenado:

(resultado do dado 1,resultado do dado 2)(\text{resultado do dado 1},\text{resultado do dado 2})

O total de resultados possíveis é:

6⋅6=366\cdot 6=36

Agora contamos os pares cuja soma é 10:

(4,6),(5,5),(6,4)(4,6),\quad (5,5),\quad (6,4)

Há 3 casos favoráveis. Então:

P(soma 10)=336=112P(\text{soma 10})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}

Um erro comum é considerar apenas as somas de 2 a 12. Essas somas não têm a mesma chance. A soma 7 aparece em mais pares do que a soma 2, por exemplo. Por isso, a conta correta usa os 36 pares possíveis.

Regra do “ou”

Explicação conceitual

A palavra “ou” costuma indicar união de eventos. O evento ocorre quando aparece uma possibilidade, a outra possibilidade ou as duas ao mesmo tempo.

O cuidado está na repetição. Quando um resultado aparece nas duas listas, ele foi contado duas vezes. Por isso, precisa ser subtraído uma vez. Para dois eventos AA e BB:

Fórmula

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Cada parte da fórmula tem uma função: P(A)P(A) é a chance do primeiro evento, P(B)P(B) é a chance do segundo evento e P(A∩B)P(A\cap B) é a chance da parte repetida.

Se os eventos não têm resultados em comum, então:

Fórmula

P(A∩B)=0P(A\cap B)=0

Exemplo resolvido: um dado comum, com faces numeradas de 1 a 6, será lançado uma vez. Qual é a probabilidade de sair um número par ou maior que 4?

O espaço amostral do lançamento do dado é:

E={1,2,3,4,5,6}E=\{1,2,3,4,5,6\}

Defina os eventos:

A=“sair nuˊmero par”A=\text{``sair número par''} B=“sair nuˊmero maior que 4”B=\text{``sair número maior que 4''}

Os números pares são:

A={2,4,6}A=\{2,4,6\}

Logo:

P(A)=36P(A)=\frac{3}{6}

Os números maiores que 4 são:

B={5,6}B=\{5,6\}

Logo:

P(B)=26P(B)=\frac{2}{6}

A repetição é o número 6, que é par e maior que 4:

A∩B={6}A\cap B=\{6\}

Assim:

P(A∩B)=16P(A\cap B)=\frac{1}{6}

Aplicando a regra do “ou”:

P(A∪B)=36+26−16P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6} P(A∪B)=46=23P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Portanto:

23\boxed{\frac{2}{3}}

Atividade 3

ainda no lançamento de um dado comum, calcule:

a) a probabilidade de sair número ímpar ou maior que 4;

b) a probabilidade de sair número primo ou número par.

Ver resolução

a) Números ímpares no dado:

{1,3,5}\{1,3,5\}

Números maiores que 4:

{5,6}\{5,6\}

A repetição entre “ímpar” e “maior que 4” é:

{5}\{5\}

Logo:

P(ıˊmpar ou maior que 4)=36+26−16=46=23P(\text{ímpar ou maior que 4})=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

b) Números primos no dado:

{2,3,5}\{2,3,5\}

Números pares:

{2,4,6}\{2,4,6\}

A repetição entre “primo” e “par” é:

{2}\{2\}

Logo:

P(primo ou par)=36+36−16=56P(\text{primo ou par})=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

Atividade 4

Em uma população, a probabilidade de uma pessoa ser muda é 5010000\frac{50}{10000}, a probabilidade de ser cega é 8510000\frac{85}{10000}, e a probabilidade de ser muda e cega é 610000\frac{6}{10000}. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser muda ou cega?

Ver resolução

Defina os eventos:

M=“ser mudo”M=\text{``ser mudo''}C=“ser cego”C=\text{``ser cego''}

O enunciado pede:

P(M∪C)P(M\cup C)

Foram dadas três probabilidades:

P(M)=5010000,P(C)=8510000,P(M∩C)=610000P(M)=\frac{50}{10000},\qquad P(C)=\frac{85}{10000},\qquad P(M\cap C)=\frac{6}{10000}

Como uma pessoa pode ser muda e cega ao mesmo tempo, existe sobreposição. Por isso, subtraímos a interseção:

P(M∪C)=P(M)+P(C)−P(M∩C)P(M\cup C)=P(M)+P(C)-P(M\cap C)

Substituindo:

P(M∪C)=5010000+8510000−610000P(M\cup C)=\frac{50}{10000}+\frac{85}{10000}-\frac{6}{10000}P(M∪C)=12910000=0,0129P(M\cup C)=\frac{129}{10000}=0{,}0129

Regra do “e”

Explicação conceitual

A palavra “e” indica que duas condições precisam acontecer juntas. Em probabilidade, essa ideia costuma levar à multiplicação.

Se os eventos são independentes, o resultado de um não muda a chance do outro. Lançar uma moeda e lançar um dado são eventos independentes: a moeda não altera as faces do dado.

Se AA e BB são independentes:

Fórmula

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Essa fórmula vale quando a ocorrência de AA não altera a probabilidade de BB.

Exemplo resolvido: uma pessoa lança uma moeda comum e um dado comum. Ela ganha se sair coroa na moeda e número par no dado. Qual é a probabilidade de ganhar?

A chance de sair coroa na moeda é:

P(coroa)=12P(\text{coroa})=\frac{1}{2}

No dado, os números pares são:

2,4,62,4,6

Há 3 números pares entre 6 faces possíveis:

P(par)=36=12P(\text{par})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

Como o lançamento da moeda não muda o lançamento do dado, os eventos são independentes. Portanto:

P(coroa e par)=12⋅12=14P(\text{coroa e par})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}

Em porcentagem:

14=25%\frac{1}{4}=25\%

Resposta:

25%\boxed{25\%}

Atividade 5

Uma moeda comum e um dado comum são lançados. Calcule:

a) a probabilidade de sair cara e número múltiplo de 3;

b) a probabilidade de sair coroa e número maior que 4;

c) a probabilidade de sair cara e número menor que 7.

Ver resolução

a) A probabilidade de sair cara é 12\frac{1}{2}. Os múltiplos de 3 no dado são 3 e 6:

P(muˊltiplo de 3)=26=13P(\text{múltiplo de 3})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Multiplicando:

P(cara e muˊltiplo de 3)=12⋅13=16P(\text{cara e múltiplo de 3})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

b) A probabilidade de sair coroa é 12\frac{1}{2}. Os números maiores que 4 são 5 e 6:

P(maior que 4)=26=13P(\text{maior que 4})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

Multiplicando:

P(coroa e maior que 4)=12⋅13=16P(\text{coroa e maior que 4})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}

c) A probabilidade de sair cara é 12\frac{1}{2}. Todo número do dado comum é menor que 7, pois as faces são 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

P(menor que 7)=66=1P(\text{menor que 7})=\frac{6}{6}=1

Multiplicando:

P(cara e menor que 7)=12⋅1=12P(\text{cara e menor que 7})=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}

Atividade 6

Dois atiradores, André e Bruno, disparam simultaneamente sobre um alvo. A probabilidade de André acertar é 80%80\%, e a probabilidade de Bruno acertar é 60%60\%. Se os eventos são independentes, qual é a probabilidade de o alvo não ser atingido?

Ver resolução

Para o alvo não ser atingido, André precisa errar e Bruno precisa errar.

A probabilidade de André errar é:

100%−80%=20%=0,20100\%-80\%=20\%=0{,}20

A probabilidade de Bruno errar é:

100%−60%=40%=0,40100\%-60\%=40\%=0{,}40

Como os eventos são independentes, multiplicamos:

P(ningueˊm acerta)=0,20⋅0,40=0,08P(\text{ninguém acerta})=0{,}20\cdot 0{,}40=0{,}08

Convertendo para porcentagem:

0,08=8%0{,}08=8\%

Eventos sucessivos sem reposição

Explicação conceitual

Em retiradas sem reposição, a segunda probabilidade depende do que aconteceu na primeira retirada. Isso ocorre porque o objeto retirado não volta para a caixa, urna ou gaveta.

A conta continua usando multiplicação quando o enunciado exige uma sequência com “e”. A diferença é que a segunda fração precisa ser atualizada.

Para uma sequência sem reposição:

Fórmula

P(A e depois B)=P(A)⋅P(B depois de A)P(A\text{ e depois }B)=P(A)\cdot P(B\text{ depois de }A)

A segunda fração deve usar a nova situação após a primeira retirada.

Exemplo resolvido: em uma caixa de brindes, há 3 bolas azuis e 2 bolas vermelhas. Retiram-se duas bolas, uma depois da outra, sem reposição. Qual é a probabilidade de sair azul na primeira e vermelha na segunda?

No início, há 5 bolas:

3 azuis+2 vermelhas=5 bolas3\text{ azuis}+2\text{ vermelhas}=5\text{ bolas}

A probabilidade de sair azul na primeira retirada é:

P(azul na primeira)=35P(\text{azul na primeira})=\frac{3}{5}

Depois que uma azul saiu, restam 4 bolas. Como saiu uma azul, continuam existindo 2 bolas vermelhas:

P(vermelha na segunda depois de azul)=24P(\text{vermelha na segunda depois de azul})=\frac{2}{4}

O enunciado pede azul na primeira e vermelha na segunda. Multiplicamos:

P(azul e depois vermelha)=35⋅24P(\text{azul e depois vermelha})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4} P(azul e depois vermelha)=620=310=30%P(\text{azul e depois vermelha})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\%

Resposta:

30%\boxed{30\%}

Atividade 7

Na mesma caixa, com 3 bolas azuis e 2 bolas vermelhas, retiram-se duas bolas sem reposição. Calcule:

a) a probabilidade de sair vermelha na primeira e azul na segunda;

b) a probabilidade de sair duas azuis;

c) a probabilidade de sair duas vermelhas.

Ver resolução

a) Para sair vermelha na primeira:

P(vermelha na primeira)=25P(\text{vermelha na primeira})=\frac{2}{5}

Depois que uma vermelha saiu, restam 4 bolas, sendo 3 azuis:

P(azul na segunda depois de vermelha)=34P(\text{azul na segunda depois de vermelha})=\frac{3}{4}

Logo:

P(vermelha e depois azul)=25⋅34=620=310P(\text{vermelha e depois azul})=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

b) Para sair duas azuis:

P(azul e azul)=35⋅24=620=310P(\text{azul e azul})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}

c) Para sair duas vermelhas:

P(vermelha e vermelha)=25⋅14=220=110P(\text{vermelha e vermelha})=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}

Quando a ordem pode variar

Explicação conceitual

Alguns problemas sucessivos permitem mais de uma ordem. Quando o enunciado pede “cores diferentes”, por exemplo, há duas possibilidades: branca depois cinza, ou cinza depois branca.

Dentro de cada ordem usamos a regra do “e”, porque a primeira e a segunda retirada precisam acontecer. Depois somamos as ordens, porque uma ordem ou a outra resolve o problema.

Exemplo resolvido: na caixa com 3 bolas azuis e 2 vermelhas, retiram-se duas bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de saírem bolas de cores diferentes?

Cores diferentes podem ocorrer em duas ordens:

azul depois vermelha\text{azul depois vermelha} vermelha depois azul\text{vermelha depois azul}

Primeira ordem: azul e depois vermelha.

P(A depois V)=35⋅24=620P(A\text{ depois }V)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}

Segunda ordem: vermelha e depois azul.

P(V depois A)=25⋅34=620P(V\text{ depois }A)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}

Agora juntamos as duas ordens:

P(cores diferentes)=620+620=1220=35P(\text{cores diferentes})=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}

Resposta:

35=60%\boxed{\frac{3}{5}=60\%}

Atividade 8

Em uma caixa há 4 bolas brancas e 3 bolas pretas. Retiram-se duas bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes?

Ver resolução

Há duas ordens possíveis. Primeira ordem: branca depois preta.

P(B depois P)=47⋅36=1242P(B\text{ depois }P)=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{12}{42}

Segunda ordem: preta depois branca.

P(P depois B)=37⋅46=1242P(P\text{ depois }B)=\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}=\frac{12}{42}

Somando as duas ordens:

P(cores diferentes)=1242+1242=2442=47P(\text{cores diferentes})=\frac{12}{42}+\frac{12}{42}=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}

Atividade 9

Em uma gaveta, há 12 meias brancas e 8 meias cinzas. Retiram-se duas meias, sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas meias retiradas serem de cores diferentes?

Ver resolução

No início, há:

12 meias brancas+8 meias cinzas=20 meias12\text{ meias brancas}+8\text{ meias cinzas}=20\text{ meias}

O enunciado pede cores diferentes. Isso pode acontecer de duas formas:

branca depois cinza\text{branca depois cinza}cinza depois branca\text{cinza depois branca}

Primeira ordem: branca na primeira retirada e cinza na segunda.

P(B depois C)=1220⋅819=96380P(B\text{ depois }C)=\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{19}=\frac{96}{380}

Segunda ordem: cinza na primeira retirada e branca na segunda.

P(C depois B)=820⋅1219=96380P(C\text{ depois }B)=\frac{8}{20}\cdot\frac{12}{19}=\frac{96}{380}

Somando as duas ordens:

P(cores diferentes)=96380+96380=192380P(\text{cores diferentes})=\frac{96}{380}+\frac{96}{380}=\frac{192}{380}

Simplificando por 4:

192380=4895\frac{192}{380}=\frac{48}{95}

Dicas para vestibular

Cuidado comum

Antes de calcular, leia o enunciado procurando a estrutura da pergunta. Se o problema pede a chance de um único tipo de resultado, conte casos favoráveis e casos possíveis. Se aparece “ou”, pense em união: some as chances e retire a repetição quando houver. Se aparece “e”, pense em multiplicação. Se a situação é sem reposição, atualize a segunda fração. Se a ordem pode variar, calcule cada ordem separadamente e some no final.

13 questão(ões) cadastrada(s) para esta aula.

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