Análise Combinatória: arranjo e combinação simples

O que a Análise Combinatória conta?

A Análise Combinatória reúne métodos para contar possibilidades sem precisar escrever uma lista completa de todos os casos. Em problemas de agrupamento, escolher a fórmula é consequência de uma pergunta anterior:

Explicação conceitual

O que faz dois resultados serem diferentes?

Considere cinco livros distintos, identificados por $A$ , $B$ , $C$ , $D$ e $E$ . Três deles serão levados em uma viagem.

Exemplo resolvido 1: escolher livros ou definir uma ordem de leitura.

Situação 1. Escolher três livros para colocar na mala.

Se os escolhidos forem $A$ , $B$ e $C$ , escrever $ABC$ , $ACB$ ou $BAC$ não cria escolhas diferentes. A mala contém os mesmos três livros. As possibilidades são:

ABC,\ ABD,\ ABE,\ ACD,\ ACE,\ ADE,\ BCD,\ BCE,\ BDE,\ CDE.

Há $10$ grupos.

Situação 2. Escolher três livros e definir qual será lido primeiro, segundo e terceiro.

Agora $ABC$ significa ler $A$ primeiro, $B$ depois e $C$ por último. A ordem $BAC$ descreve outro plano de leitura. Há:

\underbrace{5}_{\text{primeiro}} \cdot \underbrace{4}_{\text{segundo}} \cdot \underbrace{3}_{\text{terceiro}} =60

ordens possíveis.

As duas situações usam os mesmos cinco livros e escolhem três deles. A diferença está no resultado final. Na primeira, só importam os livros escolhidos. Na segunda, importam os livros e a posição de cada um.

Princípio Fundamental da Contagem

Arranjos e combinações são construídos a partir do Princípio Fundamental da Contagem. Quando um processo possui etapas sucessivas e o número de opções em cada etapa é o mesmo para todas as escolhas anteriores válidas, multiplicamos essas quantidades. As opções disponíveis podem diminuir de uma etapa para a seguinte.

Exemplo resolvido 2: uma refeição com duas escolhas.

Um estabelecimento oferece 4 tipos de sanduíche e 3 tipos de bebida. Para formar uma refeição com um sanduíche e uma bebida, existem:

\underbrace{4}_{\text{sanduíche}} \cdot \underbrace{3}_{\text{bebida}} =12

possibilidades.

Cada uma das 4 escolhas de sanduíche pode ser acompanhada por qualquer uma das 3 bebidas. Por isso, as quantidades são multiplicadas.

Quando uma escolha não pode ser repetida, o número de opções diminui a cada etapa. Se 7 músicas distintas estão disponíveis e três delas ocuparão as posições 1, 2 e 3 de uma sequência, há:

7\cdot6\cdot5=210

possibilidades. Depois que uma música ocupa a primeira posição, restam 6; escolhida a segunda, restam 5.

Atividade 1: contar por etapas

Uma lanchonete oferece 5 tipos de sanduíche e 2 bebidas. Uma refeição contém um sanduíche e uma bebida.

a) Quantas refeições diferentes podem ser montadas?

b) Em outro pedido, uma pessoa escolhe uma bebida ou um sanduíche, apenas um item. Quantas escolhas ela tem?

Ver resolução

a) Para cada um dos 5 sanduíches, existem 2 opções de bebida. Como uma refeição reúne as duas escolhas:

5\cdot2=\boxed{10\text{ refeições}}.

b) A pessoa escolhe um item entre 5 sanduíches e 2 bebidas. Esses dois grupos de opções não têm itens em comum:

5+2=\boxed{7\text{ escolhas}}.

Na primeira situação contamos pares; na segunda contamos itens individuais.

Fatorial

Para um número natural positivo $n$ , o fatorial de $n$ é o produto de todos os inteiros positivos de $n$ até $1$ :

Explicação conceitual

n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1.

Por convenção, $0!=1$ . Há uma única maneira de escolher nenhum elemento: a escolha vazia. Essa convenção também permite usar as fórmulas quando escolhemos todos os elementos disponíveis.

Alguns valores básicos são:

1!=1,\qquad 2!=2,\qquad 3!=6,\qquad 4!=24,\qquad 5!=120.

Em cálculos combinatórios, quase nunca é necessário desenvolver todo o fatorial. Fatores iguais no numerador e no denominador podem ser cancelados:

\frac{12!}{8!} =\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{8!} =12\cdot11\cdot10\cdot9.

Atividade 2: simplificar fatoriais

Calcule sem desenvolver fatores que podem ser cancelados:

a) $\dfrac{7!}{5!}$ .

b) $\dfrac{7!}{2!\,5!}$ .

c) $\dfrac{5!}{5!\,0!}$ .

Ver resolução

a) Escrevemos $7!=7\cdot6\cdot5!$ :

\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{5!}=7\cdot6=\boxed{42}.

b) Cancelamos $5!$ e usamos $2!=2$ :

\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=\boxed{21}.

c) Cancelamos $5!$ e usamos $0!=1$ :

\frac{5!}{5!\,0!}=\frac1{1}=\boxed{1}.

O cancelamento ocorre entre fatores de um produto. Por exemplo, $7!/5!$ não é igual a $(7-5)!$ .

Arranjo simples

Explicação conceitual

Definição

Arranjos simples de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ , com $n$ e $p$ naturais e $0\leq p\leq n$ , são os agrupamentos ordenados distintos que se podem formar com $p$ dos $n$ elementos dados.

A palavra simples indica que os elementos são distintos e cada um é usado, no máximo, uma vez. O termo ordenado significa que a posição, a função ou a sequência dos elementos faz parte do resultado. Dois agrupamentos com os mesmos elementos podem ser diferentes quando esses elementos trocam de posição.

Construção da fórmula

Para preencher $p$ posições com elementos distintos, sem repetição, considerando $1\leq p\leq n$ :

\begin{array}{c|c} \text{posição} & \text{número de opções}\\ \hline 1^\text{a} & n\\ 2^\text{a} & n-1\\ 3^\text{a} & n-2\\ \vdots & \vdots\\ p^\text{a} & n-(p-1)=n-p+1 \end{array}

Pelo princípio multiplicativo:

A_{n,p} =n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1).

Esse produto possui exatamente $p$ fatores. A forma fatorial é obtida ao completar o produto até $(n-p)!$ :

A_{n,p} =\frac{n!}{(n-p)!}.

Explicação conceitual

\boxed{ A_{n,p} =n(n-1)\cdots(n-p+1) =\frac{n!}{(n-p)!} }

$n$ é o total de elementos disponíveis. $p$ é a quantidade de elementos escolhidos e posicionados.

Exemplo prático

Oito pessoas chegaram a um cinema, mas existem apenas cinco assentos disponíveis. Vamos representar as pessoas pelas letras

A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H.

Os cinco assentos são numerados, pois cada um ocupa uma posição diferente na fileira:

—Assento 1

—Assento 2

—Assento 3

—Assento 4

—Assento 5

Uma possível ocupação é:

AAssento 1

BAssento 2

CAssento 3

DAssento 4

EAssento 5

Outra ocupação possível é:

BAssento 1

AAssento 2

CAssento 3

DAssento 4

EAssento 5

Embora as mesmas cinco pessoas apareçam nos dois casos, as ocupações são diferentes: no primeiro caso, $A$ está no assento 1 e $B$ está no assento 2; no segundo, essas posições foram trocadas. Como a troca de posição produz uma nova ocupação, a ordem importa.

Para preencher o primeiro assento, podemos escolher qualquer uma das oito pessoas:

\underbrace{8}_{\text{opções para o assento 1}}.

Depois dessa escolha, restam sete pessoas para o segundo assento:

\underbrace{8}_{\text{assento 1}} \cdot \underbrace{7}_{\text{assento 2}}.

Continuando o mesmo raciocínio, restam seis opções para o terceiro assento, cinco para o quarto e quatro para o quinto:

\underbrace{8}_{1^\circ\text{ assento}} \cdot \underbrace{7}_{2^\circ\text{ assento}} \cdot \underbrace{6}_{3^\circ\text{ assento}} \cdot \underbrace{5}_{4^\circ\text{ assento}} \cdot \underbrace{4}_{5^\circ\text{ assento}}.

Logo, o número de maneiras de ocupar os cinco assentos é

A_{8,5}=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4=6\,720.

Não é necessário desenhar todas as $6\,720$ possibilidades. Os exemplos mostram o ponto central: cada assento representa uma posição, e trocar duas pessoas de lugar forma uma nova organização.

Exemplos resolvidos

Exemplo resolvido 3: números naturais com algarismos distintos.

Usando os algarismos $2$ , $3$ , $5$ , $7$ e $9$ , quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?

Identificação do agrupamento.

Há $n=5$ algarismos disponíveis e serão usados $p=3$ . A ordem faz parte do número, pois $257\neq527$ . Não há repetição.

Pelo princípio multiplicativo:

\underbrace{5}_{\text{centena}} \cdot \underbrace{4}_{\text{dezena}} \cdot \underbrace{3}_{\text{unidade}} =60.

Pela fórmula do arranjo:

A_{5,3} =\frac{5!}{(5-3)!} =\frac{5!}{2!} =5\cdot4\cdot3 =60.

Podem ser formados $60$ números.

Fonte indicada no material: adaptado de Fellini, Batista e Okuhara, Arranjos, Aulas 33 e 34.

Exemplo resolvido 4: livros empilhados em uma prateleira.

Uma pessoa possui 10 livros distintos e espaço para empilhar apenas 4 deles. De quantos modos pode escolher os livros e determinar a ordem da pilha?

Identificação do agrupamento.

O resultado inclui quatro posições, do livro que fica no topo ao livro que fica na base. Trocar dois livros de posição cria outra pilha. Trata-se de um arranjo de 10 elementos tomados 4 a 4.

A_{10,4} =10\cdot9\cdot8\cdot7 =5040.

Existem $5040$ pilhas possíveis.

Fonte indicada no material: adaptado de Benevides, Arranjos e Combinações Simples, Portal da OBMEP.

Atividade 3: aplicações de arranjo

a) Uma corrida possui 8 finalistas. Quantos pódios distintos podem ser formados com ouro, prata e bronze?

b) Entre 9 músicas distintas, quatro serão escolhidas para tocar em sequência. Quantas sequências são possíveis?

c) Um código possui 4 algarismos distintos escolhidos entre $0,1,2,\ldots,9$ . Quantos códigos podem ser formados? Considere que um código pode começar por zero.

Ver resolução

a) Pódio. Ouro, prata e bronze são posições distintas. Sem empates, o mesmo atleta não pode ocupar dois lugares:

A_{8,3}=\underbrace{8}_{\text{ouro}}\cdot \underbrace{7}_{\text{prata}}\cdot\underbrace{6}_{\text{bronze}} =\boxed{336}.

Trocar os vencedores de ouro e prata produz outro pódio.

b) Músicas. Escolhemos 4 músicas distintas e definimos a posição de cada uma:

A_{9,4}=9\cdot8\cdot7\cdot6=\boxed{3024}.

São quatro fatores porque a sequência possui quatro posições.

c) Código. A primeira posição aceita os 10 algarismos, inclusive zero. Como não há repetição, restam 9, depois 8 e depois 7:

A_{10,4}=10\cdot9\cdot8\cdot7=\boxed{5040}.

Um código como 0123 é permitido pelo enunciado.

Combinação simples

Explicação conceitual

Definição

Combinações simples de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ , com $n$ e $p$ naturais e $0\leq p\leq n$ , são os subconjuntos com exatamente $p$ elementos que se podem formar com os $n$ elementos dados.

Em uma combinação, apenas os elementos escolhidos determinam o resultado. A ordem em que foram escritos ou selecionados não importa.

Exemplo prático

Um cinema disponibilizou apenas cinco vagas para um grupo de oito pessoas:

A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G,\ H.

De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as cinco pessoas que entrarão no cinema?

Neste problema, interessa apenas saber quais pessoas serão escolhidas. A posição ocupada por cada uma delas não será considerada.

Uma escolha possível é:

O mesmo grupo também poderia ser representado assim:

As duas representações contêm exatamente as mesmas pessoas:

\{A,B,C,D,E\}=\{E,C,A,D,B\}.

A troca de posição entre elas não forma uma nova escolha. Os quadrados servem apenas para visualizar as cinco vagas, sem representar assentos numerados.

Uma escolha realmente diferente seria:

Esse grupo é diferente do anterior porque a pessoa $E$ foi substituída pela pessoa $F$ .

Como queremos escolher cinco pessoas entre oito e a ordem não importa, usamos uma combinação:

C_{8,5} = \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!\,(8-5)!}.

Substituindo $8-5=3$ :

\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!\,3!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3\cdot2\cdot1}.

Cancelando $5!$ :

\binom{8}{5} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} = \frac{336}{6} = 56.

Logo, existem

\boxed{56}

grupos diferentes de cinco pessoas que podem ser escolhidos para entrar no cinema.

Por que dividimos por $5!$ ?

Ao fazer o produto

8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6\,720,

consideramos uma posição para cada pessoa. Dessa forma, a ordem em que as pessoas aparecem nos cinco quadrados é contada.

Por exemplo, considere o grupo formado por: $\{A,B,C,D,E\}.$ Esse mesmo grupo pode aparecer de várias maneiras:

ABCDE,\quad ABCED,\quad ACBDE,\quad BACDE,\quad EDCBA,\ \ldots

Em todas essas representações, as pessoas escolhidas continuam sendo $A$ , $B$ , $C$ , $D$ e $E$ . Apenas a ordem foi alterada.

Vamos calcular quantas ordens podem ser formadas com essas cinco pessoas:

\underbrace{5}_{\text{posição 1}} \cdot \underbrace{4}_{\text{posição 2}} \cdot \underbrace{3}_{\text{posição 3}} \cdot \underbrace{2}_{\text{posição 4}} \cdot \underbrace{1}_{\text{posição 5}}.

Assim,

5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!=120.

Isso significa que cada grupo de cinco pessoas foi contado $120$ vezes no resultado $6\,720$ .

Como essas $120$ ordens representam uma única escolha, precisamos retirar a repetição dividindo por $5!$ :

C_{8,5} = \frac{A_{8,5}}{5!} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Calculando:

C_{8,5} = \frac{6\,720}{120} = 56.

Explicação conceitual

\boxed{ C_{n,p} =\frac{A_{n,p}}{p!} =\frac{n!}{p!(n-p)!} }

O fator $p!$ elimina as diferentes ordens que representam o mesmo subconjunto.

Exemplos resolvidos

Exemplo resolvido 5: equipe de voluntariado.

Sete pessoas participam de uma ação de voluntariado. Três formarão uma equipe para realizar uma tarefa, sem funções diferentes. Quantas equipes podem ser formadas?

Identificação do agrupamento.

Há $n=7$ pessoas disponíveis e serão escolhidas $p=3$ . Se Ana, Bruno e Caio formam uma equipe, a ordem em que os nomes forem citados não cria outra equipe.

C_{7,3} =\frac{7!}{3!(7-3)!} =\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} =\frac{210}{6} =35.

Podem ser formadas $35$ equipes.

Fonte indicada no material: adaptado de Benevides, Arranjos e Combinações Simples, Portal da OBMEP.

Exemplo resolvido 6: partidas de um campeonato.

Em um campeonato com 6 times, cada time enfrenta cada um dos outros exatamente uma vez. Quantas partidas são realizadas?

Cada partida é determinada por um par de times. O confronto entre $A$ e $B$ é o mesmo par que o confronto entre $B$ e $A$ . Como não há distinção entre mandante e visitante, a troca não cria uma nova partida.

C_{6,2} =\frac{6!}{2!4!} =\frac{6\cdot5}{2} =15.

O campeonato possui $15$ partidas.

Fonte indicada no material: adaptado de Benevides, Arranjos e Combinações Simples, Portal da OBMEP.

Atividade 4: aplicações de combinação

a) Entre 8 fotografias distintas, três serão escolhidas para impressão. Quantas seleções são possíveis?

b) Uma pizzaria oferece 9 ingredientes adicionais distintos. Quantas escolhas de 4 ingredientes podem ser feitas, sem repetição?

c) Entre 10 livros distintos, dois serão escolhidos para levar em uma viagem. Quantos pares podem ser formados?

Ver resolução

a) Fotografias. A seleção é determinada pelas 3 fotografias escolhidas. A ordem em que seus nomes são escritos não muda a seleção:

C_{8,3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} =\frac{336}{6}=\boxed{56}.

b) Ingredientes. Escolhemos 4 ingredientes distintos entre 9. A ordem de escolha não cria uma pizza diferente:

C_{9,4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =\frac{3024}{24}=\boxed{126}.

c) Livros. Cada par de livros representa uma escolha. O par $\{A,B\}$ é o mesmo que $\{B,A\}$ :

C_{10,2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=\boxed{45}.

Dividimos por $2!$ porque cada par apareceria duas vezes em uma contagem ordenada.

Escolher quem entra ou quem fica de fora

No cinema, cada escolha de 5 pessoas entre 8 deixa exatamente 3 pessoas de fora. Saber quem entra determina quem fica de fora, e vice-versa. Assim, as duas contagens têm o mesmo resultado:

C_{8,5}=C_{8,3}=56.

Fórmula

Combinações complementares:

C_{n,p}=C_{n,n-p}.

Essa propriedade permite escolher a conta mais curta. Para selecionar 8 pessoas entre 10, podemos contar os pares que ficarão de fora:

C_{10,8}=C_{10,2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.

Como decidir entre arranjo e combinação

Escolha um resultado possível e troque dois elementos de posição. Pergunte se o problema passa a considerar outro resultado. Para uma equipe sem cargos, a troca apenas reorganiza a escrita dos nomes. Para um pódio, ela muda quem recebe cada medalha.

Situação	O que diferencia os resultados?	Contagem
Escolher 3 livros entre 5	Os livros selecionados	$C_{5,3}=10$
Escolher e ordenar 3 livros entre 5	Os livros e a ordem de leitura	$A_{5,3}=60$
Escolher 5 pessoas entre 8	As pessoas selecionadas	$C_{8,5}=56$
Ocupar 5 assentos com pessoas de um grupo de 8	Quem ocupa cada assento	$A_{8,5}=6720$

Cuidado comum

A sequência de escolha pode existir sem fazer parte do resultado. Uma equipe pode ser sorteada nome por nome. Se ninguém recebe uma função diferente, o resultado continua sendo apenas o grupo formado.

A ordem também pode aparecer como função. Presidente e responsável pela secretaria são papéis diferentes, mesmo que ninguém esteja em uma fila.

E quando todos os elementos são usados?

Ordenar todos os $n$ elementos distintos é uma permutação simples. Ela é o caso do arranjo em que $p=n$ :

A_{n,n}=\frac{n!}{0!}=n!.

Por exemplo, há $4!=24$ maneiras de ordenar quatro livros distintos. Se quisermos apenas escolher os quatro livros entre esses mesmos quatro, há uma única escolha:

C_{4,4}=1.

Repetição e restrições: confira as opções de cada etapa

As fórmulas de arranjo simples e combinação simples tratam de elementos distintos, usados no máximo uma vez em cada resultado. Quando o enunciado permite repetição ou restringe uma posição, precisamos revisar a quantidade de opções em cada etapa.

Código e número natural.

Considere os algarismos $0,1,2,\ldots,9$ .

Código de 4 posições, sem repetição, aceitando zero no início. Há 10 opções para a primeira posição e depois 9, 8 e 7:

10\cdot9\cdot8\cdot7=5040.

Número natural de 4 algarismos distintos. O primeiro algarismo pode ser de 1 a 9. Após essa escolha, sobram 9 algarismos para a segunda posição, incluindo o zero. Em seguida, restam 8 e 7:

9\cdot9\cdot8\cdot7=4536.

O código 0123 é permitido na primeira situação, mas representa o número 123, que tem apenas três algarismos.

Código de 4 posições com repetição permitida. Cada posição continua aceitando os 10 algarismos, independentemente dos anteriores:

10\cdot10\cdot10\cdot10=10^4=10000.

A escolha da conta depende dessas condições do enunciado.

Escolhas em etapas: combinar métodos

Um problema pode pedir a escolha de um grupo e a atribuição de funções a alguns integrantes. Nesse caso, contamos uma etapa de cada vez. Para multiplicar as contagens, verificamos se cada resultado final está sendo contado uma única vez.

Uma equipe com uma pessoa responsável.

Entre 6 voluntários, serão escolhidas 3 pessoas para uma equipe. Uma delas será responsável por registrar a atividade. Os outros dois integrantes terão a mesma função. Quantas equipes com responsável definido podem ser formadas?

Primeira etapa: escolher os integrantes. A equipe é um grupo de 3 entre 6:

C_{6,3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.

Segunda etapa: definir o responsável. Para cada equipe, qualquer um dos 3 integrantes pode assumir essa função:

20\cdot3=\boxed{60}.

Não multiplicamos por $3!$ , porque os outros dois integrantes não ocupam posições diferentes.

Também podemos escolher primeiro o responsável, com 6 opções, e depois os outros dois entre as 5 pessoas restantes:

6\cdot C_{5,2}=6\cdot10=60.

Cada equipe com responsável definido aparece uma vez em cada uma dessas formas de contar.

Exercícios de revisão

Em cada questão, explique o que está sendo contado antes de aplicar a fórmula.

Revisão 1: pódio.

Uma corrida possui 11 participantes. De quantas maneiras podem ser distribuídos primeiro, segundo e terceiro lugares?

Ver resolução

Primeiro, segundo e terceiro lugares são posições distintas. Trocar dois participantes de posição altera o pódio:

A_{11,3} =11\cdot10\cdot9 =990.

Revisão 2: escolha de pratos.

Um evento gastronômico oferece 8 pratos distintos. Uma pessoa deseja provar 3 deles, sem repetir prato e sem definir uma ordem. Quantas escolhas são possíveis?

Ver resolução

Os três pratos formam uma escolha sem ordem:

C_{8,3} =\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} =56.

Revisão 3: episódios para uma viagem.

Uma série possui 9 episódios independentes disponíveis.

a) Quantos conjuntos de 4 episódios podem ser baixados?

b) Quantas sequências de exibição com 4 episódios distintos podem ser definidas?

c) Explique a relação entre as duas respostas.

Ver resolução

a) Para escolher apenas os quatro episódios:

C_{9,4} =\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =126.

b) Para escolher e ordenar os quatro episódios:

A_{9,4} =9\cdot8\cdot7\cdot6 =3024.

c) Cada conjunto de quatro episódios pode ser ordenado de $4!=24$ maneiras:

3024=126\cdot24.

Revisão 4: associação com duas funções.

Entre 12 moradores, cinco formarão uma associação temporária. Entre os cinco, uma pessoa será presidente e outra ficará responsável pela secretaria. Os outros três integrantes não terão funções distintas. Quantas associações podem ser formadas?

Ver resolução

A composição da associação e a atribuição das duas funções fazem parte do resultado. Trocar presidente e responsável pela secretaria muda a associação, mas reordenar os outros três nomes não muda. Primeiro, escolhem-se os cinco integrantes. Depois, presidente e responsável pela secretaria são escolhidos para duas funções distintas entre os cinco:

\underbrace{C_{12,5}}_{\text{integrantes}}\cdot\underbrace{A_{5,2}}_{\text{funções}} =792\cdot20 =15840.

Também seria possível escolher presidente e responsável pela secretaria entre as 12 pessoas e completar a associação com três pessoas entre as 10 restantes:

A_{12,2}\cdot C_{10,3} =132\cdot120 =15840.

Contar apenas $C_{12,5}$ deixaria de distinguir as funções. Contar $A_{12,5}$ daria posições diferentes aos três integrantes que não têm funções distintas.

Revisão 5: campeonato.

Quatorze times participam de uma competição.

a) Quantas partidas ocorrem se cada par de times se enfrentar uma única vez, em campo neutro?

b) Quantas partidas ocorrem se cada par se enfrentar duas vezes, com troca de mando?

c) Por que a segunda resposta é o dobro da primeira?

Ver resolução

a) Em campo neutro, cada partida é um par sem ordem:

C_{14,2} =\frac{14\cdot13}{2} =91.

b) Com troca de mando, cada par produz dois jogos:

A_{14,2} =14\cdot13 =182.

c) Para qualquer par $\{A,B\}$ , há os jogos $A$ como mandante contra $B$ e $B$ como mandante contra $A$ . Assim:

A_{14,2} =C_{14,2}\cdot2! =91\cdot2 =182.

Revisão 6: interpretação.

Em uma loteria, seis números distintos são sorteados entre 60. O equipamento registra a sequência em que os números saem, mas o prêmio é determinado apenas pelo conjunto dos seis números.

a) A aposta deve ser modelada por arranjo ou combinação?

b) Explique por que a existência de uma sequência de sorteio não altera sua resposta.

Ver resolução

a) A aposta é modelada por uma combinação:

C_{60,6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6!}=50\,063\,860.

b) O equipamento registra uma ordem, mas o prêmio compara apenas os conjuntos de seis números. As $6!$ sequências dos mesmos seis números correspondem à mesma aposta. O objeto contado é o conjunto, não a sequência produzida pelo sorteio.

Questões dos materiais complementares

As questões a seguir retomam a atribuição de posições, a distinção entre grupo e mando de campo e a escolha de subconjuntos em duas categorias. As identificações de banca seguem o material-base.

1. Armários da academia (PUC-SP).

No vestiário de uma academia de ginástica há exatamente 30 armários, cada qual para uso individual. Se, no instante em que dois alunos dessa academia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas 8 dos armários estão desocupados, quantas opções eles terão para escolher seus respectivos armários?

A) 14.

B) 28.

C) 48.

D) 56.

E) 112.

Ver resolução

Conceito: atribuir elementos distintos a pessoas diferentes.

O resultado deve indicar qual armário pertence a cada aluno. Se Ana usa o armário 1 e Bruno usa o 2, temos uma atribuição diferente daquela em que Ana usa o 2 e Bruno usa o 1.

O primeiro aluno pode escolher qualquer um dos 8 armários livres. Para cada escolha, o segundo terá 7 opções, pois um armário já foi ocupado:

A_{8,2}=8\cdot7=56.

Há 56 atribuições possíveis. $\boxed{\text{Alternativa D}}$ .

O cálculo $C_{8,2}=28$ contaria apenas os pares de armários, sem indicar quem usa cada um. Os 30 armários totais não entram na multiplicação, pois somente 8 estão disponíveis.

2. Grupo e jogo de abertura (ENEM).

Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:

A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

D) duas combinações.

E) dois arranjos.

Ver resolução

Conceito: o critério de distinção pode mudar entre as etapas.

Formação do Grupo A. Escolhemos 4 times entre 12. A ordem em que os nomes foram sorteados não atribui posições diferentes dentro do grupo. Usamos uma combinação:

C_{12,4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=495.

Jogo de abertura, dado um Grupo A. Entre os 4 times, escolhemos um mandante e um visitante. Trocar essas funções muda a configuração do jogo. Há:

A_{4,2}=4\cdot3=12

possibilidades para cada grupo formado.

Os métodos são combinação e arranjo, nessa ordem. $\boxed{\text{Alternativa A}}$ .

Se a pergunta pedisse a quantidade de processos completos, incluindo grupo, mandante e visitante, multiplicaríamos $495\cdot12=5940$ . A questão pede apenas os métodos usados em cada etapa.

3. Escolha dos museus (ENEM).

Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

Museus nacionais	Museus internacionais
Masp, São Paulo	Louvre, Paris
MAM, São Paulo	Prado, Madri
Ipiranga, São Paulo	British Museum, Londres
Imperial, Petrópolis	Metropolitan, Nova York

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?

A) 6.

B) 8.

C) 20.

D) 24.

E) 36.

Ver resolução

Conceito: escolher subconjuntos em categorias diferentes.

A pergunta pede quais museus serão visitados. A ordem do roteiro não faz parte do resultado. A condição de escolher 3 nacionais e 2 internacionais precisa ser respeitada.

Museus nacionais. Há 4 disponíveis, e escolhemos 3:

C_{4,3}=\frac{4!}{3!\,1!}=4.

Também podemos pensar em escolher qual dos quatro ficará de fora.

Museus internacionais. Há 4 disponíveis, e escolhemos 2:

C_{4,2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.

Reunir as escolhas. Cada uma das 4 seleções nacionais pode ser acompanhada por qualquer uma das 6 seleções internacionais:

C_{4,3}\cdot C_{4,2}=4\cdot6=24.

Há 24 escolhas possíveis. $\boxed{\text{Alternativa D}}$ .

Usar $C_{8,5}$ incluiria grupos com outras divisões, como 4 museus nacionais e 1 internacional. Somar $4+6$ contaria as escolhas de cada categoria separadamente; a viagem exige reunir as duas.

Roteiro para resolver uma questão de contagem

Descreva um resultado completo. Ele é um grupo, uma sequência, um conjunto com funções ou várias escolhas reunidas?
Verifique a repetição e as restrições. Um elemento pode ser usado novamente? Alguma posição tem opções proibidas? Há quantidades obrigatórias por categoria?
Teste uma troca. Trocar dois escolhidos muda o resultado que a pergunta considera?
Conte por etapas. Use arranjo para posições distintas e combinação para grupos sem ordem. Se houver várias etapas, explique como elas formam o resultado final.
Confira as repetições da contagem. Ao dividir por $p!$ , certifique-se de que as $p!$ ordens realmente representam o mesmo resultado e foram todas contadas.

Análise Combinatória: arranjo e combinação simples

O que a Análise Combinatória conta?

Princípio Fundamental da Contagem

Atividade 1: contar por etapas

Fatorial

Atividade 2: simplificar fatoriais

Arranjo simples

Construção da fórmula

Exemplo prático

Exemplos resolvidos

Atividade 3: aplicações de arranjo

Combinação simples

Exemplo prático

Por que dividimos por 5!5!5!?

Exemplos resolvidos

Atividade 4: aplicações de combinação

Escolher quem entra ou quem fica de fora

Como decidir entre arranjo e combinação

E quando todos os elementos são usados?

Repetição e restrições: confira as opções de cada etapa

Escolhas em etapas: combinar métodos

Exercícios de revisão

Revisão 1: pódio.

Revisão 2: escolha de pratos.

Revisão 3: episódios para uma viagem.

Revisão 4: associação com duas funções.

Revisão 5: campeonato.

Revisão 6: interpretação.

Questões dos materiais complementares

Roteiro para resolver uma questão de contagem

Questões relacionadas

Sons ambientes

Por que dividimos por $5!$ ?